Douane - Epreuve de Mathématiques - 2018

 

Choisir la bonne réponse en la justifiant. Une réponse convenable vaut 1,5 point toute réponse non justifiée est notée zéro point.

 

1) $S=2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\ldots\ldots+2^{10}\ $ vaut :

 

a) $S=2^{1+2+3+4+\ldots\ldots+10}=2^{55}$

 

b) $S=\dfrac{10}{2}(2+2^{10})$

 

c) $S=2\,046$

 

d) $S=1\,024$

 

2) On lance deux fois de suite un dé cubique dont les faces sont numérotées de $1\ $ à $\ 6.$

 

On note après chaque lancer le numéro apparu sur la face supérieure. Soit $\text{A}$ l'événement "on obtient deux numéros identiques". La probabilité de A vaut :

 

a) $P(\text{A})=\dfrac{A_{6}^{1}}{A_{6}^{6}}$

 

b) $P(\text{A})=\dfrac{C_{6}^{1}}{C_{6}^{6}}$

 

c) $P(\text{A})=\dfrac{15}{36}$

 

d) $P(\text{A})=\dfrac{1}{6}$

 

3) Le réel $R=2\ln\sqrt{\mathrm{e}}-\ln\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ a pour valeur exacte :

 

a) $R=1\quad$ b) $R=2\quad$ c) $R=3\quad$ d) $R=0.$

 

4) La fonction définie par : $h(x)=\ln x^{2}$ a pour domaine de définition $E\ :$

 

a) $E=\mathbb{R}\setminus\{0\}\quad$ b) $E=]0\;,\ +\infty[\quad$ c) $E=]-\infty\;,\ 0[\quad$ d) $E=\mathbb{R}$

 

Une personne place sur son compte au $01/01/2015$ un capital de $100\,000\;\text{F CFA}.$ Le compte produit des intérêts annuels de $5\%.$ Chaque année les intérêts sont ajoutés au capital et deviennent à leur tour, générateurs d'intérêts.

 

Pour $n$ entier naturel, on note $C_{n}$ le capital au premier janvier de l'année $2015+n$, on a ainsi $C_{0}=100\,000\;\text{F CFA}.$

 

1) Calculer $C_{1}\ $ et $\ C_{2}\quad(1\;pt)$

 

2) Exprimer en fonction de $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}.$ En déduire la nature de la suite $(C_{n}).\quad(1+0.5\;pt)$

 

3) a) Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n.\quad(0.5\;pt)$

 

b) Calculer $C_{10}.\quad(0.5\;pt)$

 

4) En quelle année ce capital dépassera-t-il pour la première fois $250\,000\;F\ ?\quad(1.5\;pt)$

 

On considère la fonction numérique $f$ définie par :

$$f(x)=-\dfrac{\ln x}{x}$$

$(\mathcal{C}_{f})$ est la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;;\ \vec{j})$ d'unité graphique $1\;cm.$

 

1) Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f.$ Étudier les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$ et en déduire les asymptotes à $(\mathcal{C}_{f}).\quad(2.5\;pts)$

 

2) Calculer $f(1).$ Interpréter graphiquement le résultat.$\quad(1\;pt)$

 

3) a) Montrer que pour tout $x$ de $D_{f},\ f'(x)=\dfrac{\ln x-1}{x^{2}}\quad(1\;pt)$

 

b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $D_{f}.\quad(1\;pt)$

 

c) Dresser le tableau de variations de $f.\quad(1\;pt)$

 

4) Donner une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C}_{f})$ au point d'abscisse $1.\quad(1\;pt)$

 

5) Tracer la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et la tangente $(T).\quad(1.5\;pt)$

 

$$\text{Durée 2 heures}$$