Angles - Trigonométrie 2nd

Classe: 
Seconde

Activité :

Soit $ABC$ un triangle, $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$, $\ I$ le pied de la hauteur issue de $H$ dans $AHC$

 
1) Déterminer les angles égaux à $\widehat{ABC}$.
 
2) Déterminer les angles égaux à $\widehat{ACB}$.
 
3) Déterminer $\cos\widehat{ABC}$ de différentes manières; de même que $\sin\widehat{ACB} $

Résolution 

1) Déterminons les angles égaux à $\widehat{ABC}$
 
$\widehat{ABC}=\widehat{IHC}$ car ils sont correspondants 
 
$\widehat{ABC}=\widehat{HAC}$ car $\begin{array}{ccc}\widehat{ABC}+\widehat{ACB}&=&90^{\circ} \\ \widehat{HAC}+\widehat{ACB}&=&90^{\circ}\end{array}$
 
2) Déterminons les angles égaux à $\widehat{ACB}$
 
$\widehat{ACB}=\widehat{AHI}=\widehat{BAH}$
 
3) $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BA}{BC}\;,\quad\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BH}{BA}$
 
$\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}\;,\quad\sin\widehat{ACB}=\dfrac{HI}{HC}$

I Secteurs angulaires

I.1 Définitions

Deux demi-droites de même origine $[Ox)$ et $[Oy)$ divisent en deux parties : le secteur angulaire saillant noté $\widehat{xOy}$ et le secteur angulaire rentrant noté $\overset{\displaystyle\vee}{xOy}.$
 

 
 

I.2 Les unités de mesure

 


 
Les unités de mesure sont le radian, le degré et le grade
$180^{o}=\pi\: rd=200\: grades$

Exemple

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Degré}&\text{Radian}&\text{Grades} \\ \hline 30^{\circ}&\pi/6&100/3 \\ \hline 45^{\circ}&\pi/4&50 \\ \hline 60^{\circ}&\pi/3&200/3 \\ \hline 90^{\circ}&\pi/2&100 \\ \hline 135^{\circ}&3\pi/4&150 \\ \hline\end{array}$$
 
La longueur de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ est donnée par $\ell=\alpha .R$.

II Angles géométriques

II.1 Définitions

Soient $[Ox)$ et $[Oy)$ deux demi-droites, on appelle angle géométrique la mesure du secteur angulaire saillant $\widehat{xOy}$.

 

 
 
 
 

II.2 Angles alternes internes, alternes externes, correspondants, opposés par le sommet

Soient deux droites $(D)$ et $(D')$ parallèles et $(L)$ une droite sécante à $(D)$ et à $(D')$ en $A$ et $B$ respectivement.

 

 
 
 
 
$\centerdot$ $\widehat{A_{2}AB}$ et $\widehat{ABB_{1}}$ sont alternes internes, donc sont égaux.
 
$\centerdot$ $\widehat{A_{1}AB}$ et $\widehat{B_{2}BA}$ sont alternes internes, donc sont égaux.
 
$\centerdot$ $\widehat{A_{3}AA_{1}}$ et $\widehat{B_{2}BB_{3}}$ sont alternes externes, donc sont égaux.
 
$\centerdot$ $\widehat{A_{1}AB}$ et $\widehat{B_{3}BB_{1}}$ sont correspondants, donc sont égaux.
 
$\centerdot$ $\widehat{B_{2}BA}$ et $\widehat{B_{3}BB_{1}}$ sont opposés par le sommet, donc sont égaux.

II.3 Angles au centre et angles inscrits

 

 


 
$T$ la tangente à $(\mathcal{C})$ en $A$
 
$\widehat{TAB}=\widehat{AMB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$
 
$\centerdot$ $\widehat{AMB}$ est un angle inscrit qui intercepte l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ et $\widehat{AOB}$ est un angle au centre qui intercepte l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$.
 
$\widehat{AMB}=\alpha+\beta$
 
$\widehat{AOB}=2\alpha+2\beta=2(\alpha+\beta)=2\widehat{AMB}$
 
D'où, l'angle au centre est égal au double de l'angle inscrit s'ils interceptent le même arc.
 
$\centerdot$ $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$, sont donc égaux.
 

III Angles orientés

III.1 Orientation du plan

Considérons un cercle $\mathcal{C}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. $A$, $\ B$, $\ C$ des points de $\mathcal{C}$.
De $A$, on peut parcourir le cercle en se dirigeant vers $B$ ou vers $C$.
On appelle sens positif le sens qui est contraire au sens des aiguilles d'une montre et le sens négatif, le sens des aiguilles d'une montre.

 
 
 

III.2 Angles orientés de vecteurs

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs, $O$ un point du plan, $[Ox)$ et $[Oy)$ deux demi-droites telles que $\vec{u}$ soit un vecteur directeur de $[Ox)$ et $\vec{v}$ celui de $[Oy)$.

 

 
 
 
L'angle orienté des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ noté $(\vec{u},\ \vec{v})$ est égal à l'angle orienté de demi-droites $\left([Ox),\ [Oy)\right)$ qui est orienté de $[Ox)$ vers $[Oy)$.
On a $(\vec{u},\ \vec{v})=\left(\widehat{[Ox),\ [Oy)}\right)$

III.3 Propriétés

$\centerdot$ $(\vec{u},\ \vec{v})=-(\vec{v},\ \vec{u})$
 
$\centerdot$ $(k\vec{u},\ k\vec{v})=(\vec{u},\ \vec{v}) \quad \forall k\neq 0$
 
$\centerdot$ $(\vec{u},\ \vec{v})+(\vec{v},\ \vec{w})=(\vec{u},\ \vec{w})$
 
$\centerdot$ $(-\vec{u},\ \vec{v})=(\vec{u},\ -\vec{v})=\pi +(\vec{u},\ \vec{v})$
 
$\centerdot$ $(-\vec{u},\ \vec{v})+(\vec{v},\ \vec{u})=\pi$

 

 

IV Trigonométrie

IV.1 Cercle trigonométrique

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$ et de rayon $1$

 

 
Nous avons :
 
$\cos\alpha=\dfrac{OH}{OM}=OH$, $\qquad$ $\sin\alpha=\dfrac{ON}{OM}=ON$
 
$-1\leq\cos\alpha\leq 1$, $\qquad$ $-1\leq\sin\alpha\leq 1$
 
$OH^{2}+HM^{2}=\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =OM^{2}=1$
 
Donc $$\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha=1$$
 
cosinus et sinus des angles remarquables

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\
\hline
\sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
\hline
\cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\hline
\tan & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \\
\hline
\end{array}$$

 

 
 

IV.2 Mesure principale d'un angle

Pour un point donné du cercle, on a une infinité de mesures.
 
Si $\left(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OM}\right)=\alpha$, alors $\left(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OM}\right)=\alpha + 2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$
 
$\centerdot$ De ces mesures, celle qui appartient à $]-\pi;\ \pi]$ est appelée la mesure principale de l'angle.
 
$\centerdot$ Si deux réels $\alpha$ et $\beta$ sont les mesures d'un même point alors $\alpha$ et $\beta$ différent d'un multiple entier de $2\pi$ ; $\ \alpha -\beta=2k\pi.$

Exemple 

Déterminer la mesure principale de $\dfrac{25\pi}{3}\;,\ \dfrac{77\pi}{4}$

Résolution 

Soit $\alpha$ la mesure principale alors $-\pi<\alpha\leq\pi$ et soit $k\in\mathbb{Z}$
 
Posons $\dfrac{25\pi}{3}=\alpha+2k\pi\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{25\pi}{3}-2k\pi$ alors on a $$\begin{array}{ccccc} -\pi&<& \dfrac{25\pi}{3}-2k\pi &\leq &\pi  \\ -\pi-\dfrac{25\pi}{3}&<&-2k\pi &\leq &\pi-\dfrac{25\pi}{3} \\ \dfrac{25\pi}{3}-\pi&\leq &2k\pi &<&\dfrac{25\pi}{3}+\pi  \\ 7.33&\leq &2k &<&9.33 \\ 3.66 &\leq& k& <& 4.66 \end{array}$$
on obtient $k=4\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{\pi}{3}$
 
Posons $\dfrac{77\pi}{4}=\alpha+2k\pi\;\Rightarrow\;\alpha=\dfrac{77\pi}{4}-2k\pi$ alors on a $$\begin{array}{ccccc} -\pi&<& \dfrac{77\pi}{4}-2k\pi&\leq &\pi  \\ -\pi-\dfrac{77\pi}{4}&<&-2k\pi &\leq &\pi-\dfrac{77\pi}{4} \\ \dfrac{77\pi}{4}-\pi&\leq &2k\pi &<&\dfrac{77\pi}{4}+\pi  \\ 18.25&\leq &2k &<&20.25 \\ 9.125 &\leq &k &< &10.125 \end{array}$$
on obtient $k=10\;\Rightarrow\;\alpha=-\dfrac{3\pi}{4}$

IV.3 Angles associés et relations trigonométriques

Soit le cercle trigonométrique $\mathcal{C}(O,\ 1)$

 
 
 

IV.3.1 Expressions en fonction de $\cos\alpha$ ou $\sin\alpha$ 

 
$\cos(\alpha +2k\pi)=\cos\alpha$
 
$\sin(\alpha +2k\pi)=\sin\alpha$
 
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$
 
$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$
 
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$
 
$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$
 
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$
 
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$
 
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$
 
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$
 
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$
 
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha$

Exercice d'application 

Donner les valeurs exactes de $\cos\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \cos\dfrac{25\pi}{4}\;,\ \sin\dfrac{25\pi}{4}$

Résolution 

\begin{eqnarray} \cos\dfrac{2\pi}{3} &=& \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \nonumber \\ &=& -\cos\dfrac{\pi}{3} \nonumber \\ &=& -\dfrac{1}{2} \nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \sin\dfrac{2\pi}{3} &=& \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \nonumber \\ &=& \sin\dfrac{\pi}{3} \nonumber \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2} \nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \cos\dfrac{25\pi}{4} &=& \cos\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \nonumber \\ &=& \cos\dfrac{\pi}{4} \nonumber \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2} \nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \sin\dfrac{25\pi}{4} &=& \sin\left(6\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \nonumber \\ &=& \sin\dfrac{\pi}{4} \nonumber \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2} \nonumber \end{eqnarray}

IV.3.2 Quelques relations trigonométriques

$-1\leq\cos\alpha\leq 1$ $\quad$ $\qquad$ $-1\leq\sin\alpha\leq 1$

 
 
 
 
 
$\overline{OH}=\cos\alpha$
 
$\overline{OP}=\sin\alpha$
 
$\tan\alpha=\dfrac{\overline{AT}}{\overline{OA}}=\overline{AT}$
 
 
$\tan(\alpha +2k\pi)=\dfrac{\sin(\alpha +2k\pi)}{\cos(\alpha +2k\pi)}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha$
 
 
$\tan(\pi-\alpha)=\dfrac{\sin(\pi-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)}=\dfrac{\sin\alpha}{-\cos\alpha}=-\tan\alpha$
 
 
$\tan(\pi+\alpha)=\dfrac{\sin(\pi+\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)}=\dfrac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha}=\tan\alpha$
 
 
$\tan(-\alpha)=\dfrac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)}=\dfrac{-\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\tan\alpha$
 
$\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha=1$
 
$1+\tan^{2}\alpha=1+\dfrac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\dfrac{\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$
 
Auteur: 
Seyni Ndiaye

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