Bac Maths G-STEG 1er groupe 2020

 

On considère la suite $(U_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

 

$$U_{n}=\left(\dfrac{1}{2\mathrm{e}^{2}}\right)^{n}$$

 

1) Calculer $U_{0}\ $ et $\ U_{1}.\quad(0.5\,pt)$

 

2) Montrer que $(U_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme. $\quad(1.5\,pt)$

 

3) Étudier la convergence de la suite $(U_{n}).\quad(0.5\,pt)$

 

4) Soit $S_{n}=U_{0}+U_{1}+\ldots+U_{n}.$

 

a) Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n.\quad(1\,pt)$

 

b) Calculer la limite de $S_{n}.\quad(0.5\,pt)$

A) Lors d'une journée de consultation médicale un médecin a consigné l'âge en $X$ années et la Fréquence Cardiaque Maximale $(FCM)\ Y$ dans le tableau suivant.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Age }X&23&35&40&48&50&52&56\\ \hline FCM\ Y&201&195&187&189&183&185&189\\ \hline\end{array}$$

1) Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal d'origine $K(22\;;\ 176)$ avec $1\;cm=2\text{ ans}$ en abscisse et $1\;cm=4\text{ unités (FCM)}$ en ordonnée.$\quad(0.5\,pt)$

 

2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r entre les variables $X\ $ et $\ Y.\quad(1\,pt)$

 

3) Quelle interprétation peut-on faire de ce résultat ?$\quad(0.5\,pt)$

 

4) Déterminer la droite de régression $(D_{y/x})$ de $Y\ $ en $\ X$ par la méthode des moindres carrés.$\quad(1\,pt)$

 

5) Tracer dans le repère précèdent la droite $(D_{y/x}).\quad(1\,pt)$

 

B) Dans la littérature, la formule d'ASTRAND qui relie la $FCM\ (Y)$ à l'âge $(X)$ est donnée par

$$(\Delta)\ :\ Y=220-X$$

1) A l'aide des 2 méthodes d'ajustement, estimer la $FCM$ d'une personne âgée de $26$ ans.$\quad(1\,pt)$

 

2) Sachant que cette personne a une Fréquence Cardiaque Maximale de $192$, préciser la meilleure des méthodes d'ajustement.$\quad(1\,pt)$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=-2+\ln(1+\mathrm{e}^{-x})$$

On note $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

1) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ puis en déduire l'existence éventuelle d'une asymptote (verticale ou horizontale). $\quad(1.5\,pt)$

 

2) a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x\ :$

$$f(x)=-x-2+\ln(1+\mathrm{e}^{x})\qquad(0.5\,pt)$$

b) En déduire que $C_{f}$ admet en $-\infty$ une asymptote oblique

$$(\Delta)\ :\ y=-x-2.\quad(0.5\,pt)$$

c) Étudier la position relative de $(\Delta)$ par rapport à $C_{f}.\quad(0.5\,pt)$

 

3) a) Vérifier que pour tout nombre réel $x\ :$

$$f'(x)=\dfrac{-1}{1+\mathrm{e}^{x}}\qquad(0.5\,pt)$$

b) Étudier le sens de variation de $f.\quad(0.5\,pt)$

 

c) Dresser le tableau de variation de $f.\quad(0.75\,pt)$

 

4) a) Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$ à préciser.$\quad(0.75\,pt)$

 

b) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à $]-1.86\;;\ -1.85[.\quad(0.5\,pt)$

 

c) Montrer que

$$f[-\ln(\mathrm{e}-1)]=-1\quad\text{et}\quad f'[-\ln(\mathrm{e}-1)] =\dfrac{1-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}\qquad(1\,pt)$$

d) En déduire la valeur de $(f^{-1})'(-1).\quad(1\,pt)$

 

5) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $C_{f}$ avec l'axe des ordonnées.$\quad(0.5\,pt)$

 

6) Tracer $C_{f}$ et les asymptotes.$\quad(1.5\,pt)$

 

$$\text{Durée 4 heures}$$