Bac Maths D, Union des Comores 2019

Un carton contient $8$ annales $(5$ annales de mathématiques et $3$ annales de physique$).$

On tire au hasard et simultanément $2$ annales dans sa carton.
 
(On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible)

1. Calculer la probabilité des évènements $A$ : obtenir deux annales de la même discipline » et $B$ : « obtenir au moins une annales de mathématiques ».

2. Calculer la probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

3. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage associe le nombre d'annales de mathématiques obtenues.

a) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X.$

b) Déterminer et représenter graphiquement la fonction de répartition de $X.$

c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X.$

La société Mwamwè vient de recevoir des groupes électrogènes.

Après leurs installations, les techniciens ont constatés à chaque mois, des pannes répétitives.

Le relevé des pannes est établi dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \text{Mois de}&\text{Janvier}&\text{Février}&\text{Mars}&\text{Avril}\\ \text{l'année}2019& & & &\\ \hline \text{Rang}&1&2&3&4\\ \text{du mois : }x_{i}& & & &\\ \hline \text{Nombre}&2&1&n&5\\ \text{de pannes : }y_{i}& & & &\\ \hline  \end{array}$$

On définit ainsi une série statistique double ; où $n$, désigne un entier naturel.
 
La droite de régression $(d)$ de $y$ en $x$, de cette série double ; a pour équation $y=1.2x.$

1. Calculer en fonction de $n$, les coordonnées du point moyen $G$ de cette série double.

2. En déduire le nombre de pannes enregistrées le mois de mars $2019.$

3. a) on prend $n=4.$

Calculer la somme des carrés des résidus de cette série statistique double.

b) En quel mois, de cette année $2019$, le nombre de pannes sera égal à $12$ ?

Dans le plan complexe rapporté d'un repère orthonormé direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$, $A$, $B$  et  $I$ sont les points d'affixes $z_{A}=1-2\mathrm{i}$ ; $z_{B}=1$  et  $z_{I}=1-\mathrm{i}.$

Soit $H$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différent de $z_{B}$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $$z'=\dfrac{z−1+2\mathrm{i}}{z-1}.$$
 
1. Vérifier que $A$ est l'antécédent du point $O$ (origine du repère) par l'application $H.$

2. Démontrer que l'application $H$ admet deux points invariants, notés $D$ et $E$, que l'on déterminera, où l'affixe du point $D$ est celui dont sa partie réelle est nulle.

3. On pose : $z=x+\mathrm{i}y$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$,  où  $x$ ; $x'$, $y$  et  $y'$ sont des nombres réels.

Montrer que    $$x'=\dfrac{x^{2}-2x+y^{2}+2y+1}{(x-1)^{2}+y^{2}}\quad\text{et}\quad y'=\dfrac{2x-2}{(x-1)^{2}+y^{2}}$$
                        
4. Soit $(L)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différent de $1$ tels que $z'$ soit un nombre complexe imaginaire pur.

Déterminer et construire l'ensemble $(L).$

5. Soit $g$, la transformation du plan lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M''$ d'affixe $z''$ tel que $z''=2\mathrm{i}z+1 -2\mathrm{i}.$

a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation.

b) Déterminer et construire l'ensemble $(L')$ image de l'ensemble $(L)$ par $g.$

1. Calculer : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

2. Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)$, puis $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et interpréter graphiquement les résultats.
 
3. a) Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$, pour tout réel $x.$

b) En déduire le sens de variation de $f.$

c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f'.$

4. a) Montrer que la droite $(d)$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty.$

b) Étudier la position de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à la droite $(d).$

5. Montrer que le réel $\alpha=0$ est l'unique solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x)=0.$

6. Établir l'équation de la tangente $(T)$ $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $\alpha.$

7. Tracer $(T)$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le même repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

8. a) Justifier que $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}.$

b) Préciser la valeur de $\left(f^{-1}\right)(0)$ et puis calculer $\left(f^{-1}\right)'(0).$

c) Tracer, sur la figure précédente, la courbe $(L)$ représentative de $f^{-1}.$

Partie B : Étude d'une suite
 
Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite définie par : $$V_{n}=\int^{n+1}_{n}[x+1-f(x)]\mathrm{d}x\;,$$ pour tout entier naturel $n.$
 
1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $$V_{n}=\dfrac{1}{4}\left(1-\mathrm{e}^{-4}\right)\mathrm{e}^{-4n}$$

2. En déduire la valeur exacte de la surface du domaine plan limité par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, la droite $(d)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1.$

3. Montrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique.

4. Calculer :$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(V_{0}+V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\sum^{n}_{k=0}\int^{k+1}_{k}[x+1-f(x)\mathrm{d}x].$$