Bac Maths D, Union des Comores 2012

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :  $$(E)\ :\ z^{2}-8z+25=0.$$

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$, $($unité graphique $1\,cm)$

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectives $a$, $b$ et $c=6\mathrm{i}$ où $a$ et $b$ sont les solutions de $(E)$ telle que Im$(a)>$Im$(b).$

2. Faire une figure et placer les points $A$, $B$ et $C.$

3. Montrer que $OABC$ est un parallélogramme.

4. a) Déterminer l'affixe du point $\Omega$, centre du parallélogramme $OABC.$

b) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MB}$ en fonction de $M\Omega.$

c) Déterminer et tracer l'ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tel que $$\||\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MB}\||=8.$$
 
5. Soit $M$ un point de la droite $(AB).$

On désigne par $z_{M}$ l'affixe du point $M$ et par $k$ la partie imaginaire de $z_{M}.$

On note $N$ l'image du point $M$ par la rotation $R$ de centre $\Omega$ de centre $-\dfrac{\pi}{2}.$

a) Déterminer $z_{M}$     

b) Montrer que $z_{N}=k+\dfrac{7}{2}-\dfrac{7}{2}\mathrm{i}$

c) Comment choisir $k$ pour que $N$ appartienne à la droite $(BC)$ ?

Au marché, trois clientes achètent les mêmes variétés de fruits.

La $1^{ère}$ achète $2$ ananas et $5$ papayes, elle paie $1\ 900\ F.$

La $2^{ème}$ achète $3$ ananas et $4$ papayes, elle paie $1\ 800\ F.$

La $3^{èmè}$ FATIMA achète $5$ ananas et $2$ papayes.  

1. Combien FATIMA doit-elle payer ?

2. Arrivée à la maison, FATIMA tire successivement et sans remise $2$ fruits dans son panier.  

On suppose l'équiprobabilité des tirages.

a) Combien a-t-elle de choix possibles ?

b) Calculer la probabilité des évènements suivants.

$A$ : « Tirer deux papayes »  

$B$ : « Tirer une papaye au second tirage » $3.$

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de $2$ fruits associe le nombre $S-S'$, où $S$ désigne la somme payée par FATIMA au marché et $S'$ désigne la somme des pris des $2$ fruits tirés.

a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X.$

b) Établir la loi de probabilité de $X.$

c) Calculer l'espérance mathématique de $X.$

Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle $$(E)\ :\ y'+y=2x\mathrm{e}^{-x}.$$

1. Vérifier que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=2x\mathrm{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle de $(E).$

2. a) Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}.$

Montrer que la fonction est une solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $f-h$ est solution de l'équation différentielle $$(E')\ :\ y'+y=0.$$

b) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E').$

En déduire les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E).$
 
3. Déterminer la solution $g$ de $(E)$ sont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $(O\ ;\ 1).$   

Étude d'une fonction Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$, on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x^{2}-1)\mathrm{e}^{-x}.$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère.

1. a) Calculer les limites de $f$ et de $\dfrac{f(x)}{x}$ en $-\infty.$

b) Interpréter graphiquement les résultats.
 
2. a) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty.$

b) Qu'en pensez-vous ?  
 
3. Étudier les variations de $f$ et dresser le tableau de variation.

4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec l'axe des abscisses.

5. Trouver l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au points d'abscisse $0.$

6. Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ et la tangente $(T)$ dans le repère.

Partie C Recherche d'une primitive et calcul d'aire

Soit la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(ax^{2}+bx+c)\mathrm{e}^{-x}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles.  

1. Calculer la dérivée $F'$ de $F$ en fonction de $a$, $b$ et $c.$

2. Déterminer trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que $F$ soit une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$

3. Calculer le nombre $$J=\int^{1}_{0}f(x)\mathrm{d}x.$$

4. En déduire l'aire de la portion du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1.$