Série N°7 : Étude d'une fonction 1er L
Exercice 1
« Fonction polynôme »
Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x)=x^{3}-3x+2$
1. Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f.$
2. Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$
3. Calculer $f'$ la fonction dérivée de $f.$
4. Dresser le tableau de variation de $f.$
5. Montrer que $I(0\ ;\ 2)$ est centre de symétrique de la courbe $(\mathbb{D}$ représentation graphique de $f$ dans $(O\ ;\ I\ ;\ J)$
6. Donner une équation de la droite $(d)$ tangent à $(\mathbb{D})$ en puis tracer $(\mathbb{D}$ et $(d).$
Exercice 2
« Fonction rationnelle »
Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}$
On appelle $(D_{f})$ la courbe représentation graphique de $f$ dans un repère ortho normal $(O\ ;\ I\ ;\ J)$, unité $1\,cm$
1. Déterminer le domaine de définition $\mathbb{D}_{F}$ de $f.$
2. Calculer les limites aux bornes de $\mathbb{D}_{f}$
3. En déduire l'existence des deux asymptotes à $\mathbb{D}_{f}$
4. Montre que le point ) $(M(-1\ ;\ 2)$ est un centre de symétrie de $\mathbb{D}_{f}$
5. Calculer $f'$ la fonction dérivée de $f.$
Puis dresser le tableau de variation de $f.$
6. Tracer $\mathbb{D}_{f}$ et ses asymptotes .
Exercice 3
« Fonction polynôme »
Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$f(x)=-x^{2}+x^{2}+x-1$
1. Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$
2. Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$
3. Calculer $f'$ la fonction dérivée de $f$
4. Dresser le tableau de variation de $f.$
5. Résoudre l'équation $f(x)=0.$
En déduire les points d'intersections de $(\mathbb{D})$ avec l'axe des abscisses.
6. Tracer la courbe $(\mathbb{D}$
Exercice 4 :
« Fonction rationnelle »
Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$f(x)=\dfrac{2-3x}{2+x}$
On appelle $(C)$ la courbe représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal $(O\ ;\ I\ ;\ J)$
1. Déterminer le domaine de définition $d_{f}$ de $f.$
2. Calculer les limites aux bornes de $f$
En déduire l'existence des deux asymptotes dont on donnera des équations de droite.
3. Calculer $f'(x)^$ la fonction dérivée de $f.$
4. Étudier les variations de $f$ et établir le tableau de variation.
5. Donner une équation de la tangente à $(\mathbb{D})$ au point d'abscisse $O.$
6. Tracer $\mathbb{C}$, les asymptotes et la tangente dans le repère orthonormé $(O\ ;\ I\ ;\ J)$
7. Tracer les tangentes puis la courbe $\mathbb{C}_{f}$ dans le repère
Exercice 5 :
« Fonction rationnelle »
Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$f(x)=\dfrac{x^{2}+x-2}{x+1}$
On appelle $(\mathbb{C}_{f}$ la courbe représentation graphique de $f$ dans un repère ortho normal $(O\ ;\ I\ ;\ J)$, unité $1\cm$
1. Déterminer le domaine de définition $\mathbb{D}_{f}$ de $f.$
2. Calculer les limites aux bornes de $f.$
3. En déduire l'existence des deux asymptotes dont on déterminera oblique à $\mathbb{D}_{f}$ et préciser l'autre asymptote.
4. Étudier la position de $\mathbb{D}_{f}$ par rapport à $(d).$
5. Calculer $f'$ la fonction dérivée de $f.$
6. Dresser le tableau de variation de $f.$
7. Montrer que $\mathbb{D}_{f}$ rencontre l'axe des abscisses aux points $A$ et $B$ d'abscisse respectifs $x_{A}+-2$ et $x_{B}=1$
8. Donner une équation de la tangente à $(\mathbb{D}_{f}$ en $B.$
9. Tracer $(C)$, les asymptotes et les tangentes en $A$ et en $B.$
Exercice 6
« Fonction rationnelle »
Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$(x)=\dfrac{x^{2}-4x+4}{x-1}$
On appelle $\left(\mathbb{C}_{f}$ la courbe représentation graphique de $f$ dans un repère ortho normal $(O\ ;\ I\ ;\ J)$, unité $2\,cm$
1. Déterminer le domaine de définition $\mathbb{D}_{f}$ de $f.$
2. Calculer les limites aux bornes de $f.$
3. Détermine les réels $a$ et $b$ tels que : pour tout
$x\in\mathbb{D}_{f}\;,f(x)=x+a+\dfrac{b}{x-1}$
4. En déduire que la droite $(d)$ d'équation $y=x-3$ est une asymptote oblique à $\mathbb{C}.$
Donner l'autre asymptote de la courbe de $\mathbb{C}$
5. Détermine les coordonnées de $I$ , point d'intersection des deux asymptotes de la courbe de $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ , en justifiant la réponse .
6. Montre que le point $I(1\ ;\ 2)$ est centre de symétrie de $\mathbb{C}$
7. Calculer $f'$ la fonction dérivée de $f.$
8. Dresser le tableau de variation de $f.$
9. Donner une équation de la tangente à $(\mathbb{C}_{f}$ en $x=2.$
10. Tracer $(C)$, les asymptotes et le tangente.
Exercice 8
« Approfondissement »
Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$h(x)=\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{x}$
1. Déterminer le domaine de définition $\mathbb{C}_{h}$ de $h.$
2. Calculer les limites aux bornes de $h.$
3. Étudie la parité de $h$ puis donne son interprétation géométrique.
4. Calculer $h'$ la fonction dérivée de $h.$
5. Dresser le tableau de variation de $h.$
6. Donne une allure de la courbe de $h$
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