Solutions des exercices : Équations et Inéquations du second degré - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1 

a) $x^{2}+2x=(x+2)^{2}-1\;;\qquad$ b) $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$
 
c) $x^{2}-x=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}\;;\qquad$ d) $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$
 
e) $x^{2}+3x=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}\;;\qquad$ f) $x^{2}-\dfrac{1}{2}x=\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^{2}-\dfrac{1}{16}$

Exercice 2 

a) $(x+1)^{2}+2\qquad$ b) $(x-2)^{2}+4$
 
c) $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{81}{4}\qquad$ d) $2\left[(x+1)^{2}-\dfrac{9}{2}\right]$
 
e) $4\left[\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^{2}-\dfrac{13}{16}\right]\qquad$ f) $-\left[\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^{2}-\dfrac{49}{16}\right]$
 
g) $-\left[(x-2)^{2}-\dfrac{49}{16}\right]\qquad$ h) $-3[(x+1)^{2}-6]$

Exercice 3 

a) $S=\left\{0\;;\ -\dfrac{5}{2}\right\}\qquad$ b) $S=\left\{0\;;\ \dfrac{49}{2}\right\}$
 
c) L'équation équivaut à : $(x+5)^{2}-4(x+5)=0$, soit à : 
 
$(x+5)[(x+5)-4]=0\;,\quad S=\{-5\;;\ -1\}$ 
 
d) L'équation équivaut à : $(x+5)(x-5)+3(x+5)=0$, soit à : 
 
$(x+5)[(x-5)+3]=0\;,\quad S=\{-5\;;\ 2\}$
 
e) $S=\left\{-\dfrac{9}{2}\;;\ \dfrac{9}{2}\right\}$ 
 
f) L'équation équivaut à : $[(x-9)-7][(x-9)+7]=0$, 
 
soit à : $(x-16)(x-2)=0\;,\quad S=\{16\;;\ 2\}$
 
g) L'équation équivaut à : $[(3x-7)-2(x+1)][(3x-7)+2(x+1)]=0$,
 
soit à : $(x-9)(5x-6)=0\;,\quad S=\left\{9\;;\ \dfrac{6}{5}\right\}$

Exercice 4 

a) $S=\{6\}\qquad$ b) $S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$
 
c) $S=\left\{-1\;;\ \dfrac{7}{2}\right\}\qquad$ d) $S=\left\{3\;;\ 2\right\}$
 
e) $S=\left\{-1\;;\ \dfrac{4}{3}\right\}\qquad$ f) $S=\left\{\dfrac{1}{3}\;;\ 3\right\}$
 
g) $S=\left\{-8\;;\ 2\right\}\qquad$ h) $S=\emptyset$
 
i) $S=\left\{-1\;;\ 4\right\}\qquad$ j) $S=\left\{15\;;\ 7\right\}$
 
k) $S=\left\{-\dfrac{17}{5}\;;\ 2\right\}\qquad$ l) $S=\left\{\dfrac{3}{2}\;;\ 1\right\}$
 
m) $S=\left\{5\;;\ 1\right\}\qquad$ n) $S=\left\{-1\;;\ 3\right\}$
 
o) $S=\left\{\dfrac{9-\sqrt{41}}{2}\;;\ \dfrac{9+\sqrt{41}}{2}\right\}\qquad$ p) $S=\left\{2\;;\ -1\right\}$
 
q) $S=\left\{-2\sqrt{2}\;;\ \sqrt{2}\right\}\qquad$ r) $S=\left\{\sqrt{3}\right\}$
 
s) $S=\left\{-1-\sqrt{2}\;;\ 1-\sqrt{2}\right\}\qquad$ t) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right\}$ 
 
u) $\Delta=1\;;\ S=\left\{2-\sqrt{2}\;;\ 1-\sqrt{2}\right\}$ 
 
v) Après développement du premier membre, l'équation se réduit à : 
 
$3x^{2}+10x+3=0\;,\quad S=\left\{-\dfrac{1}{3}\;;\ -3\right\}$

Exercice 5 

1) On a $\Delta=b^{2}-4ac=(2b')^{2}-4ac=4(b'^{2}-ac)=4\Delta'.$ Donc $\Delta$ et $\Delta'$ ont même signe, de sorte que :
 
$-\ $ si $\Delta'<0$, alors $\Delta<0$ et $(E)$ n'a pas de solution réelle.
 
$-\ $ si $\Delta'=0$, alors $\Delta=0$ et $(E)$ a une solution double $x_{0}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2b'}{2a}=-\dfrac{b'}{a}$
 
$-\ $ si $\Delta'>0$, alors $\Delta>0$ et $(E)$ a deux solutions : $$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'-\sqrt{4\Delta'}}{2a}=\dfrac{-2b'-2\sqrt{\Delta'}}{2a}=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}$$ et $$\ x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'+\sqrt{4\Delta'}}{2a}=\dfrac{-2b'+2\sqrt{\Delta'}}{2a}=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$$
 
2) a) $\Delta'=1\;,\ S=\left\{-7\;;\ -5\right\}\qquad$ b) $\Delta'=-1\;,\ S=\emptyset$
 
c) $\Delta'=2\;,\ S=\left\{5-\sqrt{2}\;;\ 5+\sqrt{2}\right\}\qquad$ d) $\Delta'=0\;,\ S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$
 
e) $\Delta'=25\;,\ S=\left\{\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}+5\right\}\qquad$ f) $\Delta'=\dfrac{7}{9}\;,\ S=\left\{\dfrac{-2-2\sqrt{7}}{9}\;;\ \dfrac{-2+2\sqrt{7}}{9}\right\}$

Exercice 6 

1) L'équation est du second degré si et seulement si le coefficient de $x^{2}$, c'est-à-dire $(m-1)$, est non nul. Donc $E=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$
 
2) a) $\Delta=12m-6.$ L'équation n'a pas de solution si et seulement si $\Delta<0$, c'est-à-dire si et seulement si : $m<\dfrac{1}{2}$
 
b) L'équation a une solution double si et seulement si $\Delta=0\ \Leftrightarrow\ m=\dfrac{1}{2}.$
 
c) L'équation a deux solutions distinctes si et seulement si $\Delta>0\ \Leftrightarrow\ m>\dfrac{1}{2}.$
$$S=\left\{\dfrac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}\;;\ \dfrac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}\right\}$$
 
3) Nous présentons les résultats sous la forme d'un tableau. On a les ensembles de solutions suivants dans les cas où $m\in E$ (deux solutions) :
 
a) $S=\left\{m+1\;;\ m\right\}\qquad$ b) $S=\left\{-1\;;\ 2m+3\right\}$
 
c) $S=\left\{1\;;\ \dfrac{2-3m}{m}\right\}\qquad$ d) $S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{m}}{m+1}\;;\ \dfrac{-1+\sqrt{m}}{m+1}\right\}$
 
e) $S=\left\{\dfrac{2m+1}{m}\;;\ \dfrac{1}{m}\right\}$
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Equation}&E&\Delta&\Delta>0&\Delta=0&\Delta<0 \\ & & &(2\text{ solutions})&(1\text{ solution})&(\text{pas de} \\ & & & & &\text{solution})\\ \hline a)&\mathbb{R}&1&\text{Pour tout }m&\text{Jamais}&\text{Jamais} \\ \hline b)&\mathbb{R}&(m+2)^{2}&m\neq -2&m=-2&\text{Jamais} \\ \hline c)&\mathbb{R}\setminus\{0\}&(2m-1)^{2}&m\neq\dfrac{1}{2}&m=\dfrac{1}{2}&\text{Jamais} \\ \hline d)&m\neq -1&m(m+1)^{2}&m>0&m=0\text{ ou}&m<0 \\ & & & &m=-1& \\ \hline e)&m\neq 0&m^{4}&m\neq 0&m=0&\text{Jamais} \\ \hline \end{array}$$

Exercice 7 

1) Pour les équations avec valeurs absolues, il convient de faire un tableau :
 
a) $$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&-\infty& &0& &+\infty \\ \hline x^{2}-2|x|-3& &x^{2}+2x-3&|&x^{2}-2x-3& \\ \hline\text{Equation}& &x^{2}+2x-3=0&|&x^{2}-2x-3=0& \\ \hline\text{Solutions}& &1\ \text{ et }\ -3&|&-1\ \text{ et }\ 3& \\ \hline\end{array}$$
On conclut que : $S=\{-3\;;\ 3\}$
 
b) $$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&-\infty& &5/4& &+\infty \\ \hline |4x-5|& &-4x+5&|&4x-5& \\ \hline\text{Equation}& &x^{2}-3x-15=-4x+5&|&x^{2}-3x-15=4x-5& \\ & &\Leftrightarrow\ x^{2}+x-20=0&|&\Leftrightarrow\ x^{2}-7x-10=0& \\ \hline\text{Solutions}& &4\ \text{ et }\ -5&|&\dfrac{7-\sqrt{89}}{2}\ \text{ et }\ \dfrac{7+\sqrt{89}}{2}& \\ \hline\end{array}$$
On conclut que : $S=\left\{-5\;;\ \dfrac{7+\sqrt{89}}{2}\right\}$
 
c) $$\begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&-\infty& &5/4& &+\infty \\
\hline
|x-1|& &-x+1&|&x-1&
\\ \hline|x+1|& &-x-4&|&x+4& \\ \hline\text{Equation}& &2x(-x+1)-x-4=0&|&2x(x-1)+x+4=0& \\ & &\Leftrightarrow\ -2x^{2}+x-4=0&|&\Leftrightarrow\ 2x^{2}-x+4=0& \\ \hline\text{Solutions}& &\text{aucune}&|&\text{aucune}& \\ \hline\end{array}$$
On conclut que : $S=\emptyset.$
 
2) Pour les équations fractionnaires, il faut d'abord chercher le domaine de définition de l'équation.
 
a) L'équation est définie si et seulement si $x+2\neq 0$ et $x^{2}-x-6\neq 0$ c'est-à-dire $x\neq -2$ et $x\neq 3.$ 
 
Elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{x^{2}-3x-5}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{5-2x}{x-3}$$ ou encore, après une nouvelle réduction au même dénominateur : $$\dfrac{x^{2}-4x-15}{(x+2)(x-3)}=0$$ Le trinôme $3x^{2}-4x-15$ a pour racines $-\dfrac{5}{3}$ et 3. Or 3 ne peut pas convenir car n'appartenant pas au domaine de définition de l'équation. 
 
On en conclut que : $S=\left\{-\dfrac{5}{3}\right\}$
 
b) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 1$ et $x\neq 0.$
 
$D=\mathbb{R}\setminus\{0\;;\ 1\}.$ 
 
Pour $x\in D$, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{5x-3}{x(x-1)}=\dfrac{3x^{2}-1}{x^{2}-x}$$ soit à : $$\dfrac{3x^{2}-5x+2}{x^{2}-x}=0$$ Le trinôme $3x^{2}-5x+2$ a pour racines $\dfrac{2}{3}$ et 1. Or 1 ne peut pas convenir d'après les conditions posées au début. 
 
On en conclut que : $S=\left\{\dfrac{2}{3}\right\}$
 
c) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 3$ et $x\neq 0.$
 
$D=\mathbb{R}\setminus\{0\;;\ 3\}.$ 
 
Pour $x\in D$, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{x^{2}+x-3}{x^{2}(x-3)}=\dfrac{9}{x^{2}(x-3)}$$ soit à : $$\dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}(x-3)}=0$$ Le trinôme $x^{2}+x-12$ a pour racines 3 et -4.  
 
On en conclut que : $S=\left\{-4\right\}$ car $3\notin D$
 
d) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 1\;,\ x\neq 2\;,\ \neq 3$ et $x\neq \dfrac{26}{11}.$
 
$D=\mathbb{R}\setminus\left\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ \dfrac{26}{11}\right\}.$ 
 
Pour $x\in D$, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{3x^{2}-12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\dfrac{33}{11x-26}$$ soit à : $$\dfrac{-12x^{2}+70x-88}{(x-1)(x-2)(x-3)(11x-26)}=0$$ Le trinôme $-12x^{2}+70x-88$ a pour racines 4 et $\dfrac{11}{6}.$  
 
On en conclut que : $S=\left\{4\;;\ \dfrac{11}{6}\right\}$ 
 
3) a) On pose $X=x^{2}.$ L'équation devient $X^{2}-11X+18=0.$
 
Son discriminant est $\Delta=11^{2}-4\times 18=49.$ Ses racines sont 2 et 9.
 
Donc, on a $X=x^{2}=9$ ou bien $X=x^{2}=2.\;,\ S=\{\sqrt{2}\;;\ -\sqrt{2}\;;\ 3\;;\ -3\}$
 
b) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{6}}{3}\;;\ -\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right\}\qquad$ c) $S=\emptyset\qquad$  d) $S=\left\{\sqrt{2}\;;\ -\sqrt{2}\right\}$ 
 
e) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{7}}{7}\;;\ -\dfrac{\sqrt{7}}{7}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}\qquad$ f) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\;;\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right\}$
 
g) On pose $X=\dfrac{2x+1}{x-3}.$ L'équation devient $X^{2}+2X-3=0.$ Ses racines sont $1\ $ et $\ -3.$
 
Donc, on a : $X=\dfrac{2x+1}{x-3}=1\ \text{ ou bien }\ \dfrac{2x+1}{x-3}=-3$
 
$\begin{array}{rcl} &\Leftrightarrow&2x+1=x-3\ \text{ ou bien }\ 2x+1=-3(x-3)\\\\&\Leftrightarrow&2x-x=-3-1\ \text{ ou bien }\ 2x+1=-3x+9\\\\&\Leftrightarrow&x=-4\ \text{ ou bien }\ 2x+3x=9-1\\\\&\Leftrightarrow&x=-4\ \text{ ou bien }\ 5x=8\\\\&\Leftrightarrow&x=-4\ \text{ ou bien }\ x=\dfrac{8}{5}\end{array}$
 
Ainsi,
$$S=\left\lbrace -4\;;\ \dfrac{8}{5}\right\rbrace$$
h) On pose $X=\sqrt{x}.$ L'équation devient $X^{2}-5X-6=0.$ Ses racines sont 6 et -1.
 
Donc, on a $X=\sqrt{x}=6$ car un carré n'est jamais négatif. $$S=\{36\}$$

Exercice 8 

Les nombres $x$ et $y$, s'ils existent, sont les solutions de l'équation du second degré : $$X^{2}-SX+P=0$$ On a les résultats suivants :
 
a) $x=15\ $ et $\ y=11\ $ ou bien $\ x=11\ $ et $\ y=15$ 
 
b) $x=y=-23$
 
c) $x=1-\sqrt{2}\ $ et $\ y=1+\sqrt{2}\ $ ou bien $\ x=1+\sqrt{2}\ $ et $\ y=1-\sqrt{2}$ 
 
d) $x$ et $y$ n'existent pas
 
e) $x=\dfrac{2}{7}\ $ et $\ y=\dfrac{3}{5}\ $ ou bien $\ x=\dfrac{3}{5}\ $ et $\ y=\dfrac{2}{7}$
 
f) $x=-\dfrac{5}{9}\ $ et $\ y=-\dfrac{4}{9}\ $ ou bien $\ x=-\dfrac{4}{9}\ $ et $\ y=-\dfrac{5}{9}$
 
g) $x=101\ $ et $\ y=99\ $ ou bien $\ x=99\ $ et $\ y=101$

Exercice 9 

En désignant par $S$ la somme des racines $(x'+x'')$ et par $P$ leur produit $(x'x'')$, on a :
 
$\cdot\ E_{1}=\dfrac{x'^{2}+x''^{2}}{x'^{2}x'^{2}}=\dfrac{(x'+x'')^{2}-2x'x''}{(x'x'')^{2}}=\dfrac{S^{2}-2P}{P^{2}}$
 
$\cdot\ E_{2}=\dfrac{x'^{3}+x''^{3}}{(x'x')^{3}}=\dfrac{(x'+x'')(x'^{2}-x'x''+x''^{2})}{(x'x'')^{3}}$ d'après une formule d'identité remarquable relative à la somme de 2 cubes. Soit, d'après le calcul précédent :
 
$E_{2}=\dfrac{S(S^{2}-2P-P)}{P^{3}}=\dfrac{S(S^{2}-3P)}{P^{3}}$
 
$\cdot\ E_{3}=\dfrac{(x'^{2}+x''^{2})+4(x'+x'')+6}{(x'+1)(x''+1)}=\dfrac{S^{2}-2P+4S+6}{P+S+1}$
 
$\cdot\ E_{4}=x'^{3}+x''^{3}-9(x'^{2}+x''^{2})+27(x'+x'')-54$, soit d'après les calculs précédents : 
 
$E_{4}=S(S^{2}-3P)-9(S^{2}-2P)+27S-54=S^{3}-9S^{2}-3PS+18P+27S-54.$

Exercice 10 

a) Si $m=-1$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $2x-4=0.$ Elle a une solution positive $x=2.$
 
Si $m\neq -1$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : $\Delta'=2m+3\;,\ P=\dfrac{m-3}{m+1}\;,\ S=\dfrac{2m}{m+1}.$ L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}\hline m&-\infty& &-3/2& &-1& &0& &3& &+\infty \\ \hline\Delta& &-&|&+&||&+&|&+&|&+& \\ \hline P& & &|&+&||&-&|&-&|&+& \\ \hline S& & &|&+&||&-&|&+&|&+& \\ \hline \end{array}$$
 
On a alors la discussion suivante : 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m<-\dfrac{3}{2}$ : l'équation n'a pas de solution. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $-\dfrac{3}{2}<m<-1$ : l'équation a 2 racines positives. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $-1<m<0$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $0<m<3$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m>3$ : l'équation a 2 racines positives.
 
Cas particuliers : 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m=-\dfrac{3}{2}$, l'équation a une racine double (car $\Delta$ s'annule) qui est positive. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m=0$, l'équation a 2 racines opposées (car $S$ s'annule). 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m=3$, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car $P$ s'annule tandis que S reste positif).
 
b) Si $m=3$, l'équation n'a aucune solution. (On obtient 1=0 !) Si $m\neq 3$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : $\Delta'=-m+3\;,\ P=\dfrac{m-2}{m-3}\;,\ S=2.$ L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline m&-\infty& &2& &3& &+\infty \\ \hline\Delta& &+&|&+&|&-& \\ \hline P& &+&|&-&|& & \\ \hline S& &+&|&+&|& & \\ \hline \end{array}$$
On a alors la discussion suivante : 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m<2$ : l'équation a 2 racines positives. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $2<m<3$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m>3$ : l'équation n'a pas de solution.
 
Cas particulier : 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m=2$, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car $P$ s'annule tandis que $S$ reste positif).
 
c) Si $m=6$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $15x+10=0.$ Elle a une solution négative $x=-\dfrac{2}{3}.$
 
Si $m\neq 6$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :
 
$\Delta'=20m+105\;,\ P=\dfrac{m+4}{m-6}\;,\ S=-\dfrac{2m+3}{m-6}.$

L'étude simultanée du signe de ces $3$ expressions dans un tableau donne les résultats suivants :

$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}\hline m&-\infty& &-21/4& &-4& &-3/2& &6& &+\infty \\ \hline\Delta& &-&|&+&|&+&|&+&|&+& \\ \hline P& & &|&+&|&-&|&-&|&+& \\ \hline S& & &|&-&|&-&|&+&|&-& \\ \hline \end{array}$$
 
On a alors la discussion suivante : 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m<-\dfrac{21}{4}$ : l'équation n'a pas de solution. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $-\dfrac{21}{4}<m<-4$ : l'équation a 2 racines négatives. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $-4<m<-\dfrac{3}{2}$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $-\dfrac{3}{2}<m<6$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m>6$ : l'équation a 2 racines négatives.
 
Cas particuliers : 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m=-\dfrac{21}{4}$, l'équation a une racine double (car $\Delta$ s'annule) qui est négative. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m=-4$, l'équation a une racine nulle et une racine négative (car $P$ s'annule tandis que $S$ reste négatif). 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m=-\dfrac{3}{2}$, l'équation a 2 racines opposées (car $S$ s'annule). 
 
d) Si $m=2$, l'équation est du premier degré et s'écrit : 1=0, donc elle n'admet aucune solution.
 
Si $m=-2$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $8x+1=0.$ Elle a une solution négative.
 
Si $m\neq 2$ et $m\neq -2$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :
 
$\Delta'=8-4m\;,\ P=\dfrac{1}{m^{2}-4}\;,\ S=\dfrac{1}{m+2}.$ L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|}
\hline
m&-\infty& &-2& &2& &+\infty \\
\hline
\Delta& &+&||&+&||&-& \\
\hline
P& &+&||&-&||& & \\
\hline
S& &-&||&+&||& & \\
\hline
\end{array}$$
On a alors la discussion suivante : 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m<-2$ : l'équation a $2$ racines négatives 
 
$\centerdot\ \ $ Si $-2<m<2$ : l'équation a $2$ racines de signes contraires. 
 
$\centerdot\ \ $ Si $m>2$ : l'équation n'a pas de solution.

Exercice 11

1) Une équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ a $2$ solutions de signes contraires si et seulement si :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} a&\neq& 0\\ \text{ET}&\\ P&<&0 \end{array}\right.$$

a) $a=1$, donc $a\neq 0.$

\begin{eqnarray} P<0&\Leftrightarrow &m-3<0\nonumber\\&\Leftrightarrow &m\in]3\ ;\ +\infty[ \end{eqnarray}

b) On doit avoir $m\neq 5$ et $\dfrac{7}{2m-5}<0$, soit $m\in\left]-\infty\ ;\ \dfrac{5}{2}\right[.$

c) On doit avoir $m\neq 5$ et $\dfrac{-4m+1}{m-5}<0$ $\Leftrightarrow m\in\left]\dfrac{1}{4}\ ;\ 5\right[.$

2) Une équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ a $2$ solutions positives si et seulement si :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} a&\neq&0\\ \Delta&>&0\\ P&>&0\\ S&>&0 \end{array}\right.$$

a) On obtient le système :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} m&\neq&3\\ 4m+13&>&0\\ \\ \dfrac{m+1}{m-3}&>&0\\ \\ \dfrac{1-2m}{m-3}&>&0 \end{array}\right.$$

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à une impossibilité.

On en conclut qu'il n'existe pas de valeur de m pour laquelle l'équation admette $2$ solutions positives.

b) On obtient le système :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} m&\neq&1\\ 9m+40&>&0\\ \\ \dfrac{m+4}{m-1}&>&0\\ \\ \dfrac{-m-6}{m-3}&>&0 \end{array}\right.$$

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à $m\in\left]-\dfrac{40}{9}\ ;\ -4\right[\cup]1\ ;\ 3[$

3) Une équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ a $2$ solutions négatives si et seulement si :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} a&\neq&0\\ \Delta&>&0\\ P&>&0\\ S&>&0 \end{array}\right.$$

a) On obtient le système :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} m&\neq&3\\ 4m+13&>&0\\ \\ \dfrac{m+1}{m-3}&>&0\\ \\ \dfrac{1-2m}{m-3}&<&0 \end{array}\right.$$

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à $m\in\left]-\dfrac{13}{4}\ ;\ -1\right[\cup ]3\ ;\ +\infty[$
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} m&\neq&1\\ 4m+40&>&0\\ \\ \dfrac{m+4}{m-1}&>&0\\ \\ \dfrac{-m-6}{m-3}&<&0 \end{array}\right.$$

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à $m\in]3\ ;\ +\infty[$

Exercice 12

a) Si $m=-3$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $-6x-8=0.$

Elle a une solution négative $x=-\dfrac{4}{3}.$

Si $m\neq -3$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : $\Delta'=2m+15$, $P=\dfrac{m-5}{m+3}$, $S=\dfrac{-2m}{m+3}.$

L'étude simultanée du signe de ces $3$ expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}\hline m&-\infty& &-\dfrac{15}{2}& &-3& &0& &5& &+\infty \\ \hline\Delta& &-&|&+&||&+&|&+&|&+& \\ \hline P& & &|&+&||&-&|&-&|&+& \\ \hline S& & &|&-&||&+&|&-&|&-& \\ \hline \end{array}$$

On a alors la discussion suivante :

$\bullet\ $Si $m<-\dfrac{15}{2}$ : l'équation n'a pas de solution.

$\bullet\ $Si $-\dfrac{15}{2}<m<-3$ : l'équation a $2$ racines négatives.

$\bullet\ $Si $-3<m<5$ : l'équation a $2$ racines de signes contraires.

$\bullet\ $Si $m>5$ : l'équation a $2$ racines négatives.

Cas particuliers :

$\bullet\ $Si $m=-\dfrac{15}{2}$, l'équation a une racine double $($car $\Delta$ s'annule$)$ qui est négative.

$\bullet\ $Si $m=0$, l'équation a $2$ racines opposées $($car $S$ s'annule$).$

$\bullet\ $Si $m=5$, l'équation a une racine nulle et une racine négative $($car $P$ s'annule tandis que $S$ reste négatif).

2) D'abord, $\Delta$ doit être positif, donc on doit avoir $m>-\dfrac{15}{2}.$

La condition donnée est équivalente à :

$2x'x''-2(x'+x'')=5$, soit à :

\begin{eqnarray} \left\lbrace\begin{array}{lcl} m&>&-\dfrac{15}{2}\\2P-2S&=&5 \end{array}\right.& \Leftrightarrow &\left\lbrace\begin{array}{lcl} m&>&-\dfrac{15}{2}\\6m-10&=&5m+15 \end{array}\right.\nonumber\\&\Leftrightarrow &m=25 \end{eqnarray}

3) On élimine $m$ entre $P$ et $S.$

$\bullet\ $ $P=\dfrac{m-5}{m+3}\Rightarrow mP+3P=m-5\Rightarrow m(P-1)=-3P-5.$

On vérifie aisément que $P\neq 1$, d'où : $m=\dfrac{-3P-5}{P-1}$

$\bullet\ $ $S=\dfrac{-2m}{m+3}\Rightarrow mS+3S=-2m\Rightarrow m(S+2)=-3S.$

On vérifie aisément que $P\neq 1$, d'où : $m=\dfrac{-3S}{S+2}$

L'égalité des $2$ expressions de $m$ donne :

$\dfrac{-3P-5}{P-1}=\dfrac{-3S}{S+2}\Leftrightarrow -3PS-6P-5S-10=-3PS+3S$

Soit :

\begin{eqnarray} -6P-8S-10=0&\Leftrightarrow &3P+4S+5=0\\\nonumber &\Leftrightarrow & 3x'x''+4(x'+x'')-5\nonumber \end{eqnarray}

4) L'équation est $X^{2}(X'+X'')X+X'X''=0\Leftrightarrow X^{2}+\dfrac{2m}{m+3}X+\dfrac{m-5}{m+3}=0$, ce qui peut encore s'écrire :

$(m+3)X^{2}+2mX+m-5=0$

Exercice 13

Soit l'équation : $x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+2=0.$

1) L'équation a des racines (distinctes ou confondues) si et seulement si :

$\Delta'\geq 0\Leftrightarrow(m+1)^{2}-(m^{2}+2)\geq 0\Leftrightarrow 2m-1\geq 0\Leftrightarrow m\geq\dfrac{1}{2}.$

2) Soit $x'$ et $x''$ les racines.

On a les $3$ égalités :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'+x''&=&2(m+1)\\ x'&=&2x''\\ x'x''&=&m^{2}+2 \end{array}\right.$$

Les $2$ premières donnent :

$x'=4(m+1)^{3}\text{ et }x''=2(m+1)^{3}.$

On reporte ensuite ces valeurs dans la troisième pour déterminer $m.$

On obtient l'équation suivante :
$$\dfrac{8(m+1)^{2}}{9}=m^{2}+2\Leftrightarrow m=8-3\sqrt{6}\text{ ou }m=8+3\sqrt{6}.$$
 
$\left(\text{On vérifie que chacune de ces valeurs est supérieure ou égale à }\dfrac{1}{2}\right).$

Exercice 14

1) $A$ est un trinôme dont les racines sont $\dfrac{3}{2}$ et $-4.$

Son tableau de signes est :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|}
\hline
x&-\infty&&-4&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\
\hline
A=(2x-3)(x+4)&&+&|&-&|&+&\\
\hline
\end{array}$$

De même pour $B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F$ et $G$, on obtient les tableaux suivants :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|}
\hline
x&-\infty&&-1&&7&&+\infty\\
\hline
B=(x+1)(7-x)&&-&|&+&|&-&\\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lccccr||}
\hline
x&-\infty&&1&&10&&+\infty\\
\hline
C=x^{2}-11x&&+&|&-&|&+&\\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lcccccr||}
\hline
x&-\infty&&-2&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\
\hline
D=-3x^{2}+4x&&-&|&+&|&-&\\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lccr|}
\hline
x&-\infty&&+\infty\\
\hline
E=-3x^{2}+x-2&&-&\\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lccr|}
\hline
x&-\infty&&+\infty\\
\hline
F=2x^{2}-x+1&&+&\\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&-\infty&&\dfrac{2}{3}&&+\infty\\
\hline
G=-9 x^{2}+12x&&-&|&-&\\
\hline
\end{array}$$

2) On étudie simultanément les signes du numérateur et du dénominateur dans un tableau.

On obtient les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|}
\hline
x&-\infty&&\dfrac{1}{3}&&2&&+\infty\\
\hline
3x-1&&-&|&+&|&+&\\
\hline
2-x&&+&|&+&|&-&\\
\hline
H&&-&|&+&|&-&\\
\hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-7&&-\dfrac{1}{2}&&3&&5&&+\infty\\
\hline
3x^{2}+4x-21&&+&|&-&|&-&|&+&|&+&\\
\hline
-2x^{2}+9x+5&&-&|&-&|&+&|&+&|&-&\\
\hline
I&&-&|&+&|&-&|&+&|&-&\\
\hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lcccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-3&&\dfrac{1}{2}&&\dfrac{3}{5}&&+\infty\\
\hline
-5x+3&&+&|&+&|&+&|&-&\\
\hline
2x^{2}+5x-3&&+&|&-&|&+&|&+&\\
\hline
J&&+&|&-&|&+&|&-&\\
\hline
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lcccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-2&&\dfrac{1}{3}&&\dfrac{7}{2}&&+\infty\\
\hline
3x^{2}+5x-2&&+&|&-&|&+&|&+&\\
\hline
6x^{2}-23x+7&&+&|&+&|&-&|&+&\\
\hline
K&&+&|&-&|&-&|&+&\\
\hline
\end{array}$$

Exercice 15

Inéquations du second degré

1) inéquations du second degré

a) $S=\dfrac{2}{3}$

b) $S=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$

c) $S=]-\infty\ ;\ -1]\cup\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$

d) $S=\emptyset$

e) L’équation équivaut, après transposition à :

$-5x^{2}-2x+2>0.$

$S=\left[-\dfrac{1-\sqrt{11}}{5}\ ;\ \dfrac{-1+\sqrt{11}}{5}\right]$

f) $S=\mathbb{R}$

2) inéquations dont la résolution se ramène à celle d’ inéquations du second degré

L’équation équivaut, après factorisation par $(2x-3)$ à : $(2x-3)(-x^{2}+x-4)\leq 0.$

a) $S=\left[\dfrac{3}{2}\ ;\ +\infty\right[$

b) $S=\left]-2\ ;\ \dfrac{2}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\ ;\ \dfrac{3}{2}\right[$

(Faire un tableau de signes)

c) $S=\left[-5\ ;\ \dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{5}+3}{2}\right]$

d) Après factorisation, l’équation devient :

$-(x^{2}+2x)(x^{2}+8x+4)<0.$

$S=\left]-\infty\ ;\ \dfrac{-4-\sqrt{31}}{5}\right[\cup\left]\dfrac{4+\sqrt{31}}{5}\ ;\ 5-2\sqrt{5}\right[\cup]5+\sqrt{5}\ ;\ +\infty[$

e) Après factorisation, l’équation devient :

$(x^{2}-10x+5)(5x^{2}+8x-3)\geq 0.$

$S=]-\infty\ ;\ -4-2\sqrt{3}[\cup]-2\ ;\ -4+2\sqrt{5}[\cup]0\ ;\ +\infty[$

3) cas où l'inconnue apparaît au dénominateur
 
a) L'équation est définie si et seulement si

$x\neq 1$ et $x\neq 5.$

Après réduction au même dénominateur, elle équivaut à :  

$-\dfrac{5x^{2}+52x-63}{2(x-1)(x-5)}<0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :

$S=]-\infty\ ;\ 1[\cup\left]\dfrac{7}{5}\ ;\ 5\right[\cup]9\ ;\ +\infty[$

b) L'équation est définie si et seulement si

$x^{2}-x-6\neq 0$,

c'est-à-dire si et seulement si $x\neq-2$ et $x\neq 3.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{2(x^{2}-6)}{(x+2)(x-3)}>0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :

$S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{6}[\cup]-2\ ;\ \sqrt{6}[\cup]3\ ; +\infty[$
 
c) L'équation est définie si et seulement si $2x^{2}-x-1\neq 0$,

c'est-à-dire si et seulement si $x\neq 1$ et $x\neq-\dfrac{1}{2}.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$-\dfrac{(x^{2}+4x-6)}{2x^{2}-x-1}>0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=\left]-2-\sqrt{10}\ ;\  -\dfrac{1}{2}\right[\cup]1\ ;\ -2+\sqrt{10}[$  
 
d) L’équation est définie si et seulement si $x\neq 3$ et $x\neq-2.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{5(2-x)(7x+11)}{4(x+2)(x-3)}\geq 0$
 
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=\left]-2\ ;\ -\dfrac{11}{7}\right]\cup[2\ ;\ 3[$

e) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 1$ et $x\neq 3.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{x^{2}-4x+9}{(x-1)(x-3)}\leq 0$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=]1\ ;\ 3[$
 
f) L’équation est définie si et seulement si $x\neq 0\;,\ x\neq\dfrac{3}{2}$ et $x\neq\dfrac{7}{6}.$  

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{6x^{2}-15x+10}{(x-1)(2x-3)(6x-7)}\leq 0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=]-\infty\ ;\ 1[\cup\left]\dfrac{7}{6}\ ;\ \dfrac{3}{2}\right[$ et $x\neq\dfrac{7}{6}.$  

g) Le tableau de signes de l'expression $G=\dfrac{(x-1)(3x^{2}+x-10)}{1-2x}$ est :  

$G=\dfrac{(x-1)(3x^{2}+x-10)}{1-2x}$ est :  
 
$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-2&&\dfrac{1}{2}&&1&&\dfrac{5}{3}&&+ \infty\\
\hline
x-1&&-&|&-&|&-&|&+&|&+&\\
\hline
3x^{2}+x-10&&+&|&-&|&-&|&-&|&+&\\
\hline
\text{Numérateur}&&-&|&+&|&+&|&-&|&+&\\
\hline
1-2x&&+&|&+&|&-&|&-&|&-&\\
\hline
G&&-&|&+&|&-&|&+&|&-&\\
\hline
\end{array}$$

$S=\left[-2\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup\left[1\ ;\ \dfrac{5}{3}\right]$

Exercice 16

a) $x^{2}+x-20=(x+4)(x-5)$ ;

$2x^{2}+7x+3=(x+3)(2x+1)$

Désignons par $(1)$ l'inéquation $x^{2}+x-20<0$ et par $(2)$ l'inéquation $2x^{2}+7x+3\geq 0$
$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-4&&-3&&-\dfrac{1}{2}&&5&&+\infty\\
\hline
(1)\text{ est vérifiée}&&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&\\
\hline
(2)\text{ est vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&\\
\hline
\end{array}$$

Les réels solutions sont ceux pour lesquels $(1)$ et $(2)$ sont simultanément vérifiées.

On en déduit que :

$S=]-4\ ;\ -3]\cup\left[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\right[$

b) Le système proposé est équivalent à :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{3}{2}&>&0\quad (1)\\\dfrac{x+11}{x-4}&\leq&0\quad (2)\end{array}\right.$

$(1)$ a pour ensemble de solutions

$S_{I}=\left]-\infty\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup[3\ ;\ +\infty[.$

$(2)$ a pour ensemble de solutions

$S_{II}=[-11\ ;\ 4[.$

(Faire un tableau de signes).

$S=S_{I}\cap S_{II}.$

On trouve, après avoir fait un tableau analogue au a) que :

$S=\left]-11\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup[3\ ;\ 4[.$

c) Le système proposé est équivalent, en prenant les racines carrées des $3$ membres à :

$\sqrt{2}<|2x-3|<\dfrac{5}{2}$, soit à $\left(\sqrt{2}<2x-3<\dfrac{5}{2}\right)$

ou bien $\left(-\dfrac{5}{2}<2x-3<-\sqrt{2}\right)$

$S=\left]\dfrac{3-\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{11}{4}\right[\cup\left]\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{11}{4}\right[$

d) L'inéquation proposée est équivalente au système :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{x+1}&<&\dfrac{1}{(x-1)(x-3 )}\quad (1)\\
\dfrac{1}{(x-1)(x-3 )}&<&\dfrac{1}{x+3}\quad(2)
\end{array}\right.$$

L'inéquation $(1)$ est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :

$\dfrac{x^{2}-5x+2}{(x+1)(x-1)(x-3)}<0.$

Son ensemble de solutions est  

$S_{1}=]-\infty\ ;\ -1[\cup\left]\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\ ;\ 1\right[\cup\left]3\ ;\ \dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\right[.$

L'inéquation $(2)$ est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :

$\dfrac{-x(x-5)}{(x-1)(x+1)(x-3)}<0.$

Son ensemble de solutions est  

$S_{2}=]-3\ ;\ 0[\cup]1\ ;\ 3[\cup]5\ ;\ +\infty[.$

Faisons un tableau de signes pour voir là ou les deux inéquations sont simultanément vérifiées.

$$\begin{array}{|c|lcccccccccccccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-3&&-1&&0&&\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}&&1&&3&&\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}&& 5&&+\infty\\
\hline
(1)\text{ est vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&\\
\hline
(2)\text{ est vérifiée}&&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&\\
\hline
\end{array}$$

On conclut de cette étude que

$S=S_{1}\cap S_{2}=]-3\ ;\ -1]$

e) On fait un tableau pour voir là ou les trois inéquations sont simultanément vérifiées.

$2x^{2}+5x-3>0\Leftrightarrow x\in]-\infty\ ;\ -3[\cup\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ ; 

$-x^{2}-3x+4\geq 0\Leftrightarrow x\in[-1\ ;\ 4]$

$x^{2}-2x+1>0\Leftrightarrow x\neq 1$
$$\begin{array}{|c|lcccccccccccr|}
\hline
x&-\infty&&-3&&-1&&\dfrac{1}{2}&&1&&4&&+\infty\\
\hline
(1)\text{ est vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&\\
\hline
(2)\text{ est vérifiée}&&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&\\
\hline
\end{array}$$

$S=\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right[\cup[1\ ;\ 4]$

Exercice 17

1) a) En remplaçant $x$ par $0$, on aurait, si $0$ était solution de $(E)$,  $0^{4}+10\times 0^{3}+26 \times 0^{2}+10 \times 0+1=0$,  soit $1=0$, ce qui est impossible.
 
b) On peut donc, si $x$ est une solution de $(E)$, diviser les deux membres par $x^{2}$ $($puisque $x\neq 0)$, ce qui donne $(E').$

2) a) $X^{2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2\times x\times\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2$,

d’où $X^{2}-2=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}.$

b) $(E’)$ est équivalente à : $\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)+10\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+26=0$,

soit à : $(X^{2} -2)+10X+26=0$ ou finalement à : $X^{2}+10X+24=0.$
 
3) $(E'')$ a pour solutions $X_{1}=-4$ et $X_{2}=-6.$

Les solutions de $(E)$ sont donc les réels $x$ tels que :  
$$x+\dfrac{1}{x}=-4\quad (1)\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{x}=-6\quad (2).$$

L’équation $(1)$ équivaut, après réduction au même dénominateur, à :

$x^{2}+4x+1=0$, qui a pour solutions

$x_{1}=-2-\sqrt{3}\quad\text{et}\quad x′_{1}=-2- \sqrt{3}.$

L'équation $(2)$ équivaut, après réduction au même dénominateur, à :

$x^{2}+6x+1=0$, qui a pour solutions

$x_{2}=-3-2\sqrt{2}\quad\text{et}\quad x′_{2}=-3+2\sqrt{2}.$

L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc :
$$S=\{-2-\sqrt{3}\  ;\  -2+\sqrt{3}\ ;\ -3+2\sqrt{2}\  ;\  -3-2\sqrt{2}\}$$
 
4) L’équation réduite correspondante est : $2X^{2}-9X+4=0.$

Elle a pour racines $\dfrac{1}{2}$ et $4.$
 
En posant à nouveau $X=x+\dfrac{1}{x'}$, on trouve :

$S={2-\sqrt{3}\ ;\ 2+\sqrt{3}}.$

Exercice 18

1) Soit $n$ le plus petit des deux entiers.

L'autre est $(n+1).$

On a donc l'équation :  $$n^{2}+(n+1)^{2}=2813\quad\text{soit}\quad 2n^{2}+2n-2812=0$$

dont la résolution conduit à $n=-36$ $($impossible, car $n$ est un entier naturel$)$ ou $n=37.$

Les entiers sont donc $37$ et $38.$  
 
2) Soient $\ell$ et $L$ les dimensions de ce rectangle.

Les données se traduisent par :  $2(\ell+L)=140$ et $\ell^{2}+L^{2}=50^{2}$ (utiliser le théorème de Pythagore), soit par le système  
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\ell+L&=&70\\
\ell^{2}+L^{2}&=&2500
\end{array}\right.$$

Posons

$$S=\ell+L\quad\text{et}\quad P=\ell\cdot L.$$

On a alors $S=70$ et $S^{2}-2P=2500$, soit $S=70$ et $P=1200.$  

$\ell$ et $L$, s'ils existent, sont solutions de l'équation $X^{2}-70X+1200=0.$

On trouve : $L=40$ et $\ell=30.$
 
3) Soit $x$ la longueur de ce champ.

L'aire est exprimée par $\mathcal{A}=x(100-x)$ et nous voulons rendre cette expression (qui est un trinôme incomplet) maximale.

Écrivons - la sous forme canonique.

$\mathcal{A}=-x^{2}+100x=-( x^{2}-100x)=-(x-50)^{2}+ 2500.$

Ainsi l'aire est toujours inférieure ou égale à $2500$  et elle est maximale lorsqu'elle vaut $2500.$

On a alors $x=25.$

Le rectangle est alors un carré.     

4) Soit $n$ le nombre de personnes au départ.

La part de chaque personne devait être $\dfrac{720\ 000}{n}.$  

S'il y a $5$ personnes des moins, le nombre de personnes participant au partage est alors $n-5$ et  la part de chacun devient : $\dfrac{720\ 000}{n-5}.$

L'hypothèse de l'énoncé est que cette dernière part surpasse la précédente de $2000F\ $, soit $\dfrac{720\ 000}{n-5}=\dfrac{720\ 000}{n}+2000$, équation qui, après réduction au même dénominateur, transposition des termes dans le second membre et factorisation, s'écrit :

$\dfrac{2000(n+40)(n-45)}{n(5-n)}=0$ et a donc pour solutions $n=-40$ ou $n=45.$

Il est clair que seule la valeur $n=45$ convient pour notre problème, car $n$ doit être un entier naturel.

On en conclut que : $45$ personnes ont participé au partage.
 
5) Soit $v$ la vitesse moyenne à l'aller, exprimée en $km/h.$

La vitesse moyenne au retour est évidemment $v-5$ et il suffit de déterminer $v$ pour répondre à la question posée.

Or, on a la formule générale : $$\text{vitesse moyenne}=\dfrac{\text{Distance parcourue}}{\text{Temps}}$$

d’où $$\text{Temps}=\dfrac{\text{Distance parcourue}}{\text{vitesse}}.$$

Par conséquent les temps mis pour effectuer les trajets à l'aller et au retour sont respectivement $\dfrac{75}{v}$ et $\dfrac{75}{v-5}.$

L'hypothèse est que le temps total de l'aller et du retour est $5.5 h.$

On doit donc avoir : $\dfrac{75}{v}+\dfrac{75}{v-5}=5.5$ équation dont la résolution, après réduction au même dénominateur et factorisation, se traduit par :  $$\dfrac{(v-30)(25-11v)}{v(v-5)}=0.$$

Cette dernière équation a pour solutions $v=30$ et $v=\dfrac{25}{11}$, mais il est clair que seul $v=30$ convient, car $v$ doit être supérieur ou égal à $5$ (pour que la vitesse au retour soit positive).

En résumé, les vitesses à l'aller et au retour sont respectivement $30km/h$ et $25km/h.$
 
6) Déterminons d'abord les longueurs $AB$ et $AC$ en fonction de $a.$

Le triangle étant rectangle en $A$, on a d'après le théorème de PYTHAGORE, $AB^{2} +AC^{2}=BC^{2}.$

Ceci, joint à l'hypothèse $AB+AC=\dfrac{5a}{4}$ et au fait que  $BC=a$ montrent que ces longueurs sont solutions du système :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x^{2}+y^{2}&=&a^{2}\\
x+y &=&\dfrac{5a}{4}
\end{array}\right.$$

Pour résoudre ce système, on remarque, d'après l'identité $(x+y )^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy$,  et que en remplaçant $x^{2}+y^{2}$ par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde équation, on voit qu'il est équivalent à :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x+y&=&\dfrac{5a}{4}\\\\
xy&=&\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{5a}{4}\right)^{2}-a^{2}\right]=\dfrac{9a^{2}}{32}
\end{array}\right.$$

On a là un système somme-produit, et pour le résoudre, on pose l'équation du second degré :

$X^{2}-SX+P=0$, soit : $X^{2}-\dfrac{5a}{4}x+\dfrac{ 9a^{2}}{32}=0.$

La résolution de cette équation est aisée et mène aux solutions :

$X^{1} =\dfrac{5-\sqrt{7}}{8a}$ et $X^{2}=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8a}.$  

On a donc  
 
En remplaçant $x^{2}+y^{2}$ par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde

$AB=\dfrac{5-\sqrt{7}}{8}a$ et $AC=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8}a$      

OU BIEN  $AB=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8}a$ et $AC=\dfrac{5-\sqrt{7}}{8}a.$

Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

Merci vous j'ai beaucoup appris

Je voudrais la correction sur mon email svp

Pour maitriser la mathématiques

Correction exercice 20 svp

Je voulais la correction de tout les exercices

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