Solution série d'exercices : calcul algébrique - 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 1

Réduire et ordonner les expressions suivantes
 
$A=2x^{2}-3x+4x^{2}-8x-4+1$
 
$A=2x^{2}+4x^{2}-3x-8x-4+1$
 
$\boxed{A=6x^{2}-11x-3}$
 
$B=5x-4x^{2}-1-6x^{3}+5x-3$
 
On regroupe les termes semblables d'un coté :
 
$\boxed{B=-6x^{3}-4x^{2}+5x+5x-3}$
 
$C=-8x^{2}-6x^{3}+4x^{2}-2x^{3}-5+4x-3$
 
$C=-6x^{3}-2x^{3}-8x^{2}+4x^{2}+4x-5-3$
 
$\boxed{C=-8x^{3}-4x^{2}+4x-8}$
 
$D=1+4x-4x^{2}+5x-10x^{3}-5x^{2}-6$
 
$D=-10x^{3}-4x^{2}-5x^{2}+5x+1-6$
 
$\boxed{D=-10x^{3}-9x^{2}+9x-5}$
 
$E=2a+4-7a-10b-6+4a^{2}-5b+2ab$
 
$E=4a^{2}+2a-7a-10b-5b+2ab-6+4$
 
$\boxed{E)=4a^{2}-5a-15b+2ab-2}$
 
$F=4a^{2}+2ab-10a^{2}-6ab+5ba-8a^{2}$
 
$F=4a^{2}-10a^{2}-8a^{2}+2ab-6ab+5ba$
 
Remarque : 
 
$ab=ba$ donc $5ba=5ab$
 
$F=4a^{2}-10a^{2}-8a^{2}+2ab-6ab+5ab$
 
$\boxed{F=-14a^{2}+ab}$

Exercice 2

Réduire et ordonner chacune des expressions suivantes en respectant les règles de suppression des parenthèses :
 
$A=(1-4x)-(7x-5)+(2x-5)-(8x+1)$
 
Cf : Quand un signe moins (-) entre dans une parenthèse, il change les signes qui se trouvent dans la parenthèse.
 
Un signe plus (+) ne change pas les signes des nombres qui se trouvent à l'intérieur des parenthèses 
 
$A=(1-4x)-(7x-5)+(2x-5)-(8x+1)$
 
$A=1-4x-7x+5+2x-5-8x-1$
 
$A=-4x-7x+2x-8x+1+5-5-1$
 
$A=-17x+0$
 
$\boxed{A=-17x}$
 
$B=(5x^{2}-2x-1)-(4x-5x^{2}-1)+(3x^{2}-5x-1)$
 
$B=5x^{2}-2x-1-4x+5x^{2}+1+3x^{2}-5x-1$
 
$B=5x^{2}+5x^{2}+3x^{2}-2x-4x-5x-1+1-1$
 
$\boxed{B=13x^{2}-11x-1}$
 
$C=(2x-1-5x^{2})+(3x^{2}-4x-1)-7-8x$
 
$C=2x-1-5x^{2}+3x^{2}-4x-1-7-8x$
 
$C=-5x^{2}+3x^{2}+2x-4x-8x-1-1-7$
 
$\boxed{C=2x^{2}-10x-9}$
 
$D=(6x-1-4x^{3})-(6x^{2}-1)-(7x^{2}-4x-1)$
 
$D=6x-1-4x^{3}-6x^{2}+1-7x^{2}+4x+1$
 
$D=-4x^{3}-6x^{2}-7x^{2}+6x+4x-1+1+1$
 
$\boxed{D=-4x^{3}-13x^{2}+10x+1}$
 
$E=(2a+4)-(7a-1)+(7b-6a^{2})-(a^{2}-b)$
 
$E=2a+4-7a+1+7b-6a^{2}-a^{2}+b$
 
$E=6a^{2}-a^{2}+2a-7a+7b+b+1+4$
 
$E=-7a^{2}-5a+8b+5$
 
$\boxed{E=-7a^{2}-5a+8b+5}$
 
$F=(2b+4)+(4a^{2}-11b)-(6+4a^{2})-2b+2ab$
 
$F=2b+4+4a^{2}-11b-6-4a^{2}-2b+2ab$
 
$F=4a^{2}-4a^{2}+2b-11b+2ab+4-6-2b$
 
$F=4a^{2}-4a^{2}+2b-2b-11b+2ab+4-6$
 
$F=0a^{2}-11b+2ab-2$
 
$\boxed{F=-11b+2ab-2}$

Exercice 3

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes
 
$A=2\times(x-1)-4\times(x+5)$
 
$A=(2\times x-2\times 1)-(4\times x+4\times 5)$
 
$A=(2x-2)-(4x+20)$
 
$A=2x-2-4x-20$
 
$\boxed{A=-2x-22}$
 
$B=5\times(3x^{2}-5)+6\times(x-2)$
 
$B=(5\times 3x^{2}-5\times 5)+(6\times x-6\times 2)$
 
$B=(15x^{2}-25)+(6x-12)$
 
$B=15x^{2}-25+6x-12$
 
$B=15x^{2}+6x-25-12$
 
$\boxed{B=15x^{2}+6x-37}$
 
$C=3(-1+x)-5(x-7)$
 
$C=(3\times(-1)+3\times x)-(5\times x-5\times 7)$
 
$C=(-3+3x)-(5x-35)$
 
$C=-3+3x-5x+35$
 
$C=3x-5x+35-3$
 
$\boxed{C=-2x+32}$
 
$D=6(x+7)+4(x-9)$
 
$D=(6\times x+6\times 7)+(4\times x-4\times 9)$
 
$D=(6x+42)+(4x-36)$
 
$D=6x+42+4x-36$
 
$D=6x+4x+42-36$
 
$D=10x+6$
 
$\boxed{D=10x+6}$
 
$E=7x(x^{2}-3)-6x^{2}(x-1)$
 
$E=\left[(7x\times x^{2})-(7x\times 3)\right]-\left[(6x^{2}\times x)-(6x^{2}-1)\right]$
 
$E=(7x^{3}-21x)-(6x^{3}-6x^{2})$
 
$E=7x^{3}-21x-6x^{3}+6x^{2}$
 
$E=7x^{3}-6x^{3}+6x^{2}-21x$
 
$\boxed{E=x^{3}+6x^{2}-21x}$
 
 
$F=\dfrac{2}{3}x(x-1)+\dfrac{2}{3}\left(x-\dfrac{3}{4}\right)$
 
$F=\left[\left(\dfrac{2}{3}x\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x\times 1\right)\right]+\left[\left(\dfrac{2}{3}\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}\right)\right]$
 
$F=\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x\right)+\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{6}{12}\right)$
 
$F=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{6}{12}$
 
$F=\dfrac{2}{3}x^{2}-0x-\dfrac{6}{12}$
 
$F=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{12}$
 
$\boxed{F=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}}$
 
$G=\dfrac{1}{2}(x^{2}-1)-\dfrac{2}{3}x(x-3)$
 
$G=\left[\left(\dfrac{1}{2}\times x^{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\times 1\right)\right]-\left[\left(\dfrac{2}{3}x\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x\times 3\right)\right]$
 
$G=\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)$
 
or $\dfrac{6}{3}x=2x$
 
$G=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}x^{2}+2x$
 
$G=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}+2x$
 
$G=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{2}+2x-\dfrac{1}{2}$
 
$G=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\right)x^{2}+2x-\dfrac{1}{2}$
 
$G=\left(\dfrac{3-4}{6}\right)x^{2}+2x-\dfrac{1}{2}$
 
$\boxed{G=-\dfrac{1}{6}x^{2}+2x-\dfrac{1}{2}}$
 
$H=\dfrac{1}{2}x(x^{2}-1)-\dfrac{2}{3}x(x-3)$
 
$H=\left[\left(\dfrac{1}{2}x\times x^{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}x\times 1\right)\right]-\left[\left(\dfrac{2}{3}x\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x\times 3\right)\right]$
 
$H=\left(\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{1}{2}x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)$
 
$H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{6}{3}x$
 
$H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{6}{3}x$
 
$H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{6}{3}x$
 
$H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{3}\right)x$
 
$H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\left(\dfrac{-3+12}{6}\right)x$
 
$H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\left(\dfrac{9}{6}\right)x$
 
$\boxed{H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{3}{2}x}$

Exercice 4

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes 
 
$A=(2x+1)(x-3)$
 
$A=(2x\times x)-(2x\times 3)+(1\times x)-(1\times 3)$
 
$A=2x^{2}-6x+x-3$
 
$\boxed{A=2x^{2}-5x-3}$
 
$B=(7x-2)(x+4)$
 
$B=(7x\times x)+(7x\times 4)-(2\times x)-(2\times 4)$
 
$B=7x^{2}+28x-2x-8$
 
$\boxed{B=7x^{2}+26x-8}$
 
$C=(4x+1)(-x+4)$
 
$C=(4x\times(-x))+(4x\times 4)+(1\times(-x))+(4\times 1)$
 
$C=(-4x^{2})+(16x)+(-x)+(4)$
 
$C=-4x^{2}+16x-x+4$
 
$\boxed{C=-4x^{2}+15x+4}$
 
$D=(7m^{2}-6)(3-m)$
 
$D=(7m^{2}\times 3)-(7m^{2}\times m)-(6\times 3)+(6\times m)$
 
$D=21m^{2}-7m^{3}-18+6m$
 
$\boxed{D=-7m^{3}+21m^{2}+6m-18}$
 
$E=\left(\dfrac{3x}{7}-1\right)(2x^{2}-1)$
 
$E=\left(\dfrac{3}{7}x\times 2x^{2}\right)-\left(\dfrac{3}{7}x\times 1\right)-(2x^{2}\times 1)+(1\times 1)$
 
$E=\dfrac{6}{7}x^{3}-\dfrac{3}{7}x-2x^{2}+1$
 
$\boxed{E=\dfrac{6}{7}x^{3}-2x^{2}-\dfrac{3}{7}x+1}$
 
$F=\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{4}\right)\left(-\dfrac{2}{3}x-2\right)$
 
$F=\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{4}\right)\left(-\dfrac{2}{3}x-2\right)$
 
$F=\left(\dfrac{1}{3}x\times -\dfrac{2}{3}x\right)-\left(\dfrac{1}{3}x\times 2\right)+\left(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}x\right)+\left(\dfrac{3}{4}\times 2\right)$
 
$F=\dfrac{-2}{9}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{6}{12}x+\dfrac{6}{4}$
 
$F=\dfrac{-2}{9}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
 
$\dfrac{-2}{9}x^{2}+\left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\right)x+\dfrac{3}{2}$
 
$F=\dfrac{-2}{9}x^{2}+\left(\dfrac{-4+3}{6}\right)x+\dfrac{3}{2}$
 
$F=-\dfrac{2}{9}x^{2}+\left(-\dfrac{1}{6}\right)x+\dfrac{3}{2}$
 
$\boxed{F=\dfrac{2}{9}x^{2}-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{3}{2}}$
 
$G=\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)\left(\dfrac{2}{3}x+2\right)$
 
$G=\left(\dfrac{3}{4}x\times \dfrac{2}{3}x\right)+\left(\dfrac{3}{4}x\times 2\right)-\left(3\times\dfrac{2}{3}x\right)-(3\times 2)$
 
$G=\dfrac{6}{12}x^{2}+\dfrac{6}{4}x-\dfrac{6}{3}x-6$
 
$G=\dfrac{6}{12}x^{2}+\dfrac{3}{2}x-2x-6$
 
$G=\dfrac{6}{12}x^{2}+\left(\dfrac{3}{2}-2\right)x-6$
 
$G=\dfrac{6}{12}x^{2}+\left(\dfrac{3-4}{2}\right)x-6$
 
$G=\dfrac{6}{12}x^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)x-6$
 
$\boxed{G=\dfrac{6}{12}x^{2}-\dfrac{1}{2}x-6}$
 
$H=(5x-2)\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)$
 
$H=\left(5x\times\dfrac{3}{4}x\right)-(5x\times 3)-\left(2\times\dfrac{3}{4}x\right)+(2\times 3)$
 
$H=\dfrac{15}{4}x^{2}-15x-\dfrac{6}{4}x+6$
 
$H=\dfrac{15}{4}x^{2}-15x-\dfrac{3}{2}x+6$
 
$H=\dfrac{15}{4}x^{2}-\left(15+\dfrac{3}{2}\right)x+6$
 
$H=\dfrac{15}{4}x^{2}-\left(\dfrac{30+3}{2}\right)x+6$
 
$\boxed{H=\dfrac{15}{4}x^{2}-\dfrac{33}{2}x+6}$

Exercice 5

1) Calculer les carrés des expressions suivantes :
 
$6\;;\ 9\;;\ 7x\;;\ -2x\;;\ 11x^{2}\;;\ \dfrac{2x}{3}\;;\ -7x^{3}\;;\ \dfrac{1}{2}x$
 
$\boxed{(6)^{2}=6\times 6=36}$
 
$\boxed{(9)^{2}=9\times 9=81}$
 
$\boxed{(7x)^{2}=(7)^{2}\times (x)^{2}=49x^{2}}$
 
$\boxed{(-2x)^{2}=(-2)^{2}\times (x)^{2}=4x^{2}}$
 
$\boxed{(11x^{2})^{2}=(11)^{2}\times (x^{2})^{2}=121x^{4}}$
 
$\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\times(x)^{2}=\dfrac{4}{9}x^{2}$
 
$\boxed{\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}=\dfrac{4}{9}x^{2}}$
 
$(-7x^{3})^{2}=(-7)^{2}\times(x^{3})^{2}=49x^{6}$
 
$\boxed{(-7x^{3})^{2}=49x^{6}}$
 
$\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\times(x)^{2}=\dfrac{1}{4}x^{2}$
 
$\boxed{\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{2}=\dfrac{1}{4}x^{2}}$
 
2) Calculer le double produit
 
a) $5\text{ et }3$
 
$2(5\times 3)=2\times 15=30$
 
$\boxed{2(5\times 3)=30}$
 
b) $2x\text{ et }7$
 
$2(2x\times 7)=2(14x)=28x$
 
$\boxed{2(2x\times 7)=28x}$
 
c) $-3x\text{ et }-6$
 
$2(-3x\times-6)=2(18x)=36x$
 
$\boxed{2(-3x\times-6)=36x}$
 
d) $3\text{ et }-\dfrac{2x}{3}$
 
$2\left(3\times\left(-\dfrac{2}{3}x\right)\right)=2\left(-\dfrac{6}{3}x\right)=2(-2x)=-4x$
 
$\boxed{2\left(3\times\left(-\dfrac{2}{3}x\right)\right)=-4x}$

Exercice 6

Développer, réduire et ordonner 
 
Cf : Identité remarquable
 
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
 
$(a-b)^{2}a^{2}-2ab+b^{2}$
 
$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$
 
Exemple
 
$(2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\times(2x)(1)+(1)^{2}$
 
$(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$
 
Dans cet exemple, $a=2x\text{ et }b=1$
 
1) $A=(4x+3)^{2}$
 
$A=(4x)^{2}+2\times(4x)(3)+(3)^{2}$
 
$\boxed{A=16x^{2}+24x+9}$
 
$B=(2+3x)^{2}$
 
$B=(2)^{2}+2\times(2)(3x)+(3x)^{2}$
 
$B=4+12x+9x^{2}$
 
$\boxed{B=9x^{2}+12x+4}$
 
$C=(x+1)^{2}$
 
$C=(x)^{2}+2\times(x)(1)+(1)^{2}$
 
$\boxed{C=x^{2}+2x+1}$
 
$D=(7x+3)^{2}$
 
$D=(7x)^{2}+2\times(7x)(3)+(3)^{2}$
 
$\boxed{D=49x^{2}+42x+9}$
 
$E=(5x+1)^{2}$
 
$E=(5x)^{2}+2\times(5x)(1)+(1)^{2}$
 
$E=25x^{2}+10x+1$
 
$F=(8x+3)^{2}$
 
$F=(8x)^{2}+2\times(8x)(3)+(3)^{2}$
 
$\boxed{F=64x^{2}+48x+9}$
 
2) $A=(4x-3)^{2}$
 
$A=(4x)^{2}-2\times(4x)(3)+(3)^{2}$
 
$\boxed{A=16x^{2}-24x+9}$
 
$B=(2-3x)^{2}$
 
$B=(2)^{2}-2\times(2)\times(3x)+(3x)^{2}$
 
$B=4-12x+9x^{2}$
 
$\boxed{B=9x^{2}-12x+14}$
 
$C=(x-1)^{2}$
 
$C=(x)^{2}-2\times(x)(1)+(1)^{2}$
 
$\boxed{C=x^{2}-2x+1}$
 
$D=(7x-3)^{2}$
 
$D=(7x)^{2}-2\times(7x)(3)+(3)^{2}$
 
$\boxed{D=49x^{2}-42x+9}$
 
$E=(5x-1)^{2}$
 
$E=(5x)^{2}-2(5x)(1)+(1)^{2}$
 
$\boxed{E=25x^{2}-10x+1}$
 
$F=(8x-3)^{2}$
 
$F=(8x)^{2}-2(8x)(3)+(3)^{2}$
 
$\boxed{F=64x^{2}-48x+9}$
 
3) $A=(4x+3)(4x-3)$
 
$A=(4x)^{2}-(3)^{2}$
 
$\boxed{A=16x^{2}-9}$
 
$B=(2-3x)(2+3x)$
 
$B=(2)^{2}-(3x)^{2}$
 
$B=4-9x^{2}$
 
$\boxed{B=-9x^{2}+4}$
 
$C=(x+1)(x-1)$
 
$C=(x)^{2}-(1)^{2}$
 
$\boxed{x^{2}-1}$
 
$D=(5x+1)(5x-1)$
 
$D=(5x)^{2}-(1)^{2}$
 
$\boxed{D=25x^{2}-1}$
 
4) $F=\left(\dfrac{2x}{3}+7\right)^{2}$
 
$F=\left(\dfrac{2x}{3}\right)^{2}+2\times\left(\dfrac{2}{3}x\right)(7)+(7)^{2}$
 
$\boxed{F=\dfrac{4}{9}x^{2}+\dfrac{28}{3}x+49}$
 
$G=\left(\dfrac{3}{7}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{7}\right)^{2}$
 
$\boxed{G=\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{1}{49}}$
 
$H=(3x^{2}-1)^{2}$
 
$H=(3x^{2})^{2}-2(3x^{2})(1)+(1)^{2}$
 
$\boxed{H=9x^{4}-6x^{2}+1}$
 
$I=\left(\dfrac{3x}{7}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
 
$I=\left(\dfrac{3}{7}x\right)^{2}-2\times\left(\dfrac{3}{7}x\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
 
$\boxed{I=\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{1}{4}}$
 
$J=\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}\right)$
 
$J=\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
 
$J=\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}-2\times\left(\dfrac{2}{3}x\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
 
$\boxed{J=\dfrac{4}{9}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{4}}$

Exercice 7

Développer, réduire et ordonner
 
$A=7(x+3)+(x+2)(x-4)$
 
$A=[(7\times x)+(7\times 3)]+[(x\times x)-(x\times 4)+(2\times x)-(2\times 4)]$
 
$A=(7 x+21)+(x^{2}-4x+2x-8)$
 
$A=(7x+21)+(x^{2}-2x-8)$
 
$A=7x+21+x^{2}-2x-8$
 
$A=x^{2}+7x-2x+21-8$
 
$\boxed{A=x^{2}+5x+13}$
 
$B=(7x^{2}+3)(-x+3)+7x-19$
 
$B=[(7x^{2}\times(-x))+(7x^{2}\times 3)+(3\times(-x))+(3\times 3)]+7x-19$
 
$B=(-7x^{3}+21x^{2}-3x+9)+7x-19$
 
$B=-7x^{3}+21x^{2}-3x+7x+9-19$
 
$\boxed{B=-7x^{3}+21x^{2}+4x-10}$
 
$C=(x+1)(x-2)-(x-3)(x+4)$
 
$C=(x^{2}-2x+x-2)-(x^{2}+4x-3x-12)$
 
$C=(x^{2}-x-2)-(x^{2}+x-12)$
 
$C=x^{2}-x-2-x^{2}-x+12$
 
$C=0x^{2}-x-x-2+12$
 
$\boxed{C=-2x+12}$
 
$D=(x-4)^{2}-(x-6)(x+6)+(2x+3)^{2}$
 
$D=(x^{2}-2\times x\times 4+4^{2})-(x^{2}-6^{2})+(4x^{2}+12x+9)$
 
$D=(x^{2}-8x+16)-(x^{2}-36)+(4x^{2}+12x+9)$
 
$D=x^{2}-8x+16-x^{2}+36+4x^{2}+12x+9$
 
$D=x^{2}-x^{2}+4x^{2}-8x+12x+16+36+9$
 
$\boxed{D=4x^{2}+4x+61}$
 
$E=\left(\dfrac{3x}{7}-\dfrac{1}{7}\right)^{2}-\left(\dfrac{3x}{7}+\dfrac{1}{7}\right)^{2}$
 
$E=\left(\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}\right)-\left(\dfrac{9}{49}x^{2}+\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}\right)$
 
$E=\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}-\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x-\dfrac{1}{49}$
 
$E=\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x-\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{49}$
 
$E=0x^{2}-\dfrac{12}{49}x+0$
 
$\boxed{E=-\dfrac{12}{49}x}$
 
$F=(2x-3)^{2}-9\left(\dfrac{3}{2}x+1\right)^{2}$
 
$F=(4x^{2}-12x+9)-9\left(\dfrac{9}{4}x^{2}+\dfrac{6}{2}x+1\right)$
 
$F=(4x^{2}-12x+9)-9\left(\dfrac{9}{4}x^{2}+3x+1\right)$
 
$F=(4x^{2}-12x+9)-\left(\dfrac{81}{4}x^{2}+27x+9\right)$
 
$F=\left(4x^{2}-12x+9-\dfrac{81}{4}x^{2}-27x-9\right)$
 
$F=4x^{2}-\dfrac{81}{4}x^{2}-12x-27x+9-9$
 
$F=\left(4-\dfrac{81}{4}\right)x^{2}-(12+27)x+0$
 
$F=\left(\dfrac{16-81}{4}\right)x^{2}-(39)x+0$
 
$F=-\dfrac{65}{4}x^{2}-39x$
 
$\boxed{F=-\dfrac{65}{4}x^{2}-39x}$

Exercice 8

1) Simplifier les expressions suivantes
 
$A(x)=\dfrac{4x-9}{3}+\dfrac{5x-2}{4}$
 
$A(x)=\dfrac{4(4x-9)+3(5x-2)}{4\times 3}$
 
$A(x)=\dfrac{(16x-36)+(15x-6)}{12}$
 
$A(x)=\dfrac{16x-36+15x-6}{12}$
 
$\boxed{A(x)=\dfrac{31x-42}{12}}$
 
$B=\dfrac{5(2x-3)}{7}-\dfrac{2(-4x-5)}{3}$
 
$B=\dfrac{3\times 5(2x-3)-2\times 7(-4x-5}{7\times 3}$
 
$B=\dfrac{15(2x-3)-14(-4x-5)}{21}$
 
$B=\dfrac{(30x-45)-(-56x-70)}{21}$
 
$B=\dfrac{30x-45+56x+70}{21}$
 
$B=\dfrac{30x+50x+70-45}{21}$
 
$B=\dfrac{86x+25}{21}$
 
$\boxed{B=\dfrac{86}{21}x+\dfrac{25}{21}}$
 
2) Calculer $A$ pour $x=0$
 
$B$ pour $x=-\dfrac{2}{3}$
 
$A$ pour $x=0$
 
$A(0)=\dfrac{31(0)-42}{12}=\dfrac{0-42}{12}$
 
$A(0)=\dfrac{-42\div 6}{12\div 6}=\dfrac{-7}{2}$
 
$\boxed{A(0)=\dfrac{-7}{2}}$
 
$B$ pour $x=-\dfrac{2}{3}$
 
$B=\dfrac{86}{21}x+\dfrac{25}{21}$
 
$B=\left(\dfrac{86}{21}\right)\left(-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{25}{21}$
 
$B=\dfrac{-172}{63}+\dfrac{25}{21}$
 
$B=\dfrac{(-172\times 21)+(25\times 63)}{63\times 21}$
 
$B=\dfrac{-3612+1575}{1323}$
 
$B=\dfrac{-2037\div 21}{1323\div 21}=\dfrac{-97}{63}$
 
$\boxed{B=\dfrac{-97}{63}}$

Exercice 9

Factoriser chacune des expressions suivantes
 
$N=(3x-1)(x-1)+(3x-1)(4-x)$
 
$N=(3x-1)[(x-1)+(4-x)]$
 
$N=(3x-1)(x-1+4-x)$
 
$N=(3x-1)(x-x+4-1)$
 
$N=(3x-1)(0x+3)$
 
$N=(3x-1)(3)$
 
$\boxed{N=3(3x-1)}$
 
$D=(5x-1(2x-1)+(2x-1)(4-x)$
 
$D=(2x-1)[(5x-1)+(4-x)]$
 
$D=(2x-1)(5x-1+4-x)$
 
$D=(2x-1)(5x-x-1+4)$
 
$\boxed{D=(2x-1)(4x+3)}$
 
$E=(9x-1)(2x+1)-(9x-1)^{2}$
 
$E=(9x-1)(2x+1)-(9x-1)(9x-1)$
 
$E=(9x-1)[(2x+1)-(9x-1)]$
 
$E=(9x-1)(2x+1-9x+1)$
 
$E=(9x-1)(2x-9x+1+1)$
 
$\boxed{E=(9x-1)(-7x+2)}$
 
$U=(4x-1)(9x+7)-(4x-1)$
 
$U=(4x-1)[(9x+7)-1]$
 
$U=(4x-1)(9x+7-1)$
 
$\boxed{U=(4x-1)(9x+6)}$ ou
 
$\boxed{U=3(4x-1)(3x+2)}$
 
$S=(2x-3)(7x-3)-6x(7x-3)$
 
$S=(7x-3)[(2x-3)-6x]$
 
$S=(7x-3)(2x-3-6x)$
 
$S=(7x-3)(2x-6x-3)$
 
$\boxed{S=(7x-3)(-4x-3)}$
 
$S'=44x^{4}+33x^{3}-22x^{2}$
 
$S'=11x^{2}(4x^{2}+3x-2)$
 
$\boxed{S'=11x^{2}(4x^{2}+3x-2)}$

Exercice 10

Factoriser chacune des expressions suivantes :
 
$A=x^{2}+4x+4$
 
$A=(x)^{2}+2\times(2)(x)+(2)^{2}$
 
$a=x\text{ et }b=2$
 
$\boxed{A=(x+2)^{2}}$
 
$B=36x^{2}-24x+4$
 
$B=(6x)^{2}-2\times(6x)(2)+2^{2}$
 
$a=6x\text{ et }b=2$
 
$\boxed{B=(6x-2)^{2}}$
 
$C=x^{2}-81$
 
$C=(x)^{2}-(9)^{2}$
 
$\boxed{C=(x-9)(x+9)}$
 
$D=216x^{2}-6$
 
$D=\left(\sqrt{216}x\right)^{2}-(\sqrt{6})^{2}$
 
$\boxed{D=(\sqrt{216}x-\sqrt{6})(\sqrt{216}x+\sqrt{6}}$
 
$E=81x^{2}+18x+1$
 
$E=(9x)^{2}+2\times(9x)(1)+(1)^{2}$
 
$\boxed{E=(9x+1)^{2}}$
 
$F=x^{2}-6x+9$
 
$F=(x)^{2}-2\times(x)(3)+(3)^{2}$
 
$\boxed{F=(x-3)^{2}}$
 
$G=x^{2}-14x+49$
 
$G=(x)^{2}-2\times(x)(7)+(7)^{2}$
 
$\boxed{G=(x-7)^{2}}$
 
$H=36x^{2}+12x+1$
 
$H=(6x)^{2}+2\times(6x)(1)+(1)^{2}$
 
$\boxed{H=(6x+1)^{2}}$
 
$I=\dfrac{49}{16}x^{2}-(1)^{2}$
 
$\boxed{I=\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)}$
 
$J=x^{2}-3x+\dfrac{9}{4}$
 
$J=(x)^{2}-2\times(x)\left(\dfrac{3}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$
 
$\boxed{J=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}}$
 
Forme factorisé                 Forme développé
 
$(a+b)^{2}\quad\quad\rightarrow\quad\quad a^{2}+2ab+b^{2}$
 
$(a-b)^{2}\quad\quad\rightarrow\quad\quad a^{2}-2ab+b^{2}$
 
$(a-b)(a+b)\quad\quad\rightarrow\quad\quad a^{2}-b^{2}$

Exemple

$x^{2}+2x+1$
 
Dans cet exemple, il faut d'abord déterminer $a\text{ et }b$.
 
Ces deux coefficients $(a\text{ et }b)$ sont cachés à travers le développement.
 
Pour les déterminer, c'est facile ;
 
$x^{2}+2x+1$
 
$(x)^{2}+2\times(x)(1)+(1)^{2}$
$a^{2}+2\times(a)(b)+b^{2}$
 
$a=x\;;\ b=1$
 
Donc : $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$

Exercice 11

Factorisation-identité remarquables
 
$A=(3x+5)^{2}-(2x-3)^{2}$
 
Par identification 
 
$a=3x+5\;;\ b=2x-3$
 
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
 
$A=(3x+5)^{2}-(2x-3)^{2}$
 
$A=[(3x+5)-(2x-3)][(3x+5)+(2x-3)]$
 
$A=(3x-2x+5+3)(3x+2x+5-3)$
 
$$\boxed{A=(x+8)(5x+2)}$$
 
$N=\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)^{2}-\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}$
 
$N=\left[\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)-\left(x+\dfrac{5}{2}\right)\right]\left[\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)+\left(x+\dfrac{5}{2}\right)\right]$
 
$N=\left(\dfrac{6}{4}x-x-\dfrac{5}{2}-2\right)\left(\dfrac{10}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$
 
$$\boxed{N=\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{9}{2}\right)\left(\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)}$$
 
$S=(5x-1)^{2}-\dfrac{9}{4}$
 
$S=\left[(5x-1)-\dfrac{3}{2}\right]\left[(5x-1)+\dfrac{3}{2}\right]$
 
$S=\left(5x-1-\dfrac{3}{2}\right)\left(5x-1+\dfrac{3}{2}\right)$
 
$$\boxed{S=\left(5x-\dfrac{5}{2}\right)\left(5x+\dfrac{1}{2}\right)}$$

Exercice 12

Factoriser chacune des expressions suivantes :
 
$A=(5x-3)(3-4x)+25x^{2}-9$
 
$A=(5x-3)(3-4x)+(5x)^{2}-(3)^{2}$
 
$A=(5x-3)(3-4x)+(5x-3)(5x+3)$
 
$A=(5x-3)[(3-4x)+(5x+3)]$
 
$A=(5x-3)(3-4x+5x+3)$
 
$A=(5x-3)(-4x+5x+3+3)$
 
$\boxed{A=(5x-3)(x+6)}$
 
$B=x^{2}-4-(x+6)(x-2)$
 
$B=(x)^{2}-(2)^{2}-(x+6)(x-2)$
 
$B=(x-2)(x+2)-(x+6)(x-2)$
 
$B=(x-2)[(x+2)-(x+6)]$
 
$B=(x-2)(x+2-x-6)$
 
$B=(x-2)(x-x-6+2)$
 
$B=(x-2)(0x-4)$
 
$\boxed{B=-4(x-2)}$
 
$C=(x-8)(3x+5)-(x^{2}-16x+64)$
 
$C=(x-8)(3x++5)-[x^{2}-16x+(8)^{2}]$
 
$C=(x-8)(3x+5)-(x-8)^{2}$
 
$C=(x-8)(3x+5)-(x-8)(x-8)$
 
$C=(x-8)[(3x+5)-(x-8)]$
 
$C=(x-8)(3x+5-x+8)$
 
$C=(x-8)(3x-x+5+8)$
 
$\boxed{C=(x-8)(2x+13)}$
 
$D=x^{2}-6x+9-(3-x)(2x+1)$
 
$D=(x)^{2}-6x+(3)^{2}-(3-x)(2x+1)$
 
$D=(x-3)^{2}-(3-x)(2x+1)$
 
$D=(x-3)(x-3)-(3-x)(2x+1)$
 
Dans cet exercice, le signe est caché par un signe, on a :
 
$x-3\text{ et }3-x$
 
$3-x=-(x-3)$
 
$D=(x-3)(x-3)-[-(x-3)](2x+1)$
 
$D=(x-3)(x-3)+(x-3)(2x+1)$
 
$D=(x-3)[(x-3)+(2x+1)]$
 
$D=(x-3)(x-3+2x+1)$
 
$D=(x-3)(x+2x-3+1)$
 
$\boxed{D=(x-3)(3x-2)}$
 
$E=49x^{2}-1+(7x+1)(9x-4)$
 
$E=(7x)^{2}-(1)^{2}+(7x+1)(9x-4)$
 
$E=(7x-1)(7x+1)+(7x+1(9x-4)$
 
$E=(7x+1)[(7x-1)+(9x-4)]$
 
$E=(7x+1)(7x-1+9x-4)$
 
$E=(7x+1)(7x+9x-4-1)$
 
$\boxed{E=(7x+1)(16x-5)}$
 
$F=\dfrac{49}{16}x^{2}-1+\left(1+\dfrac{7}{4}x\right)(6x+13)$
 
$F=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^{2}-(1)^{2}+\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)(6x+13)$
 
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)+\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)(6x+13)$
 
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left[\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)+(6x+13)\right]$
 
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+6x+13-1\right)$
 
$\boxed{F=\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left(\dfrac{31}{4}x+12\right)}$

Exercice 13

Développer puis factoriser
 
$A=9x^{2}-6x+1-(3x-1)$
 
Développer $A$
 
$A=9x^{2}-6x+1-3x+1$
 
$A=9x^{2}-6x-3x+1+1$
 
$\boxed{A=9x^{2}-9x+2}$
 
Factoriser $A$
 
$A=(3x)^{2}-6x+(1)^{2}-(3x-1)$
 
$A=(3x-1)^{2}-(3x-1)$
 
$A=(3x-1)(3x-1)-(3x-1)$
 
$A=(3x-1)[(3x-1)-1]$
 
$A=(3x-1)(3x-1-1)$
 
$\boxed{A=(3x-1)(3x-2)}$
 
$B=(x+4)^{2}-(3x-2)^{2}$
 
Développer $B$
 
$B=(x^{2}+8x+16)-(9x^{2}-12x+4)$
 
$B=x^{2}+8x+16-9x^{2}+12x-4$
 
$B=x^{2}-9x^{2}+8x+12x+16-4$
 
$\boxed{B=-8x^{2}+20x+12}$
 
Factoriser $B$
 
$B=(x+4)^{2}-(3x-2)^{2}$
   $\quad a^{2}\quad-\quad b^{2}$
   
$B=[(x+4)-(3x-2)][(x+4)+(3x-2)]$
 
$B=(x+4-3x+2)(x+3x+4-2)$
 
$B=(x-3x+4+2)(x+3x+4-2)$
 
$\boxed{B=(-2x+6)(4x+2)}$
 
$C=(2x+1)(3x-2)-(2x+1)^{2}-4x-2$
 
Développer $C$
 
$C=(6x^{2}-4x+3x-2)-(4x^{2}+4x+1)-4x-2$
 
$C=(6x^{2}-x-2)-(4x^{2}+4x+1)-4x-2$
 
$C=6x^{2}-x-2-4x^{2}-4x-1-4x-2$
 
$C=6x^{2}-4x^{2}-x-4x-4x-2-1-2$
 
$\boxed{C=2x^{2}-9x-5}$
 
Factoriser $C$
 
$C=(2x+1)(3x-2)-(2x+1)^{2}-4x-2$
 
$C=(2x+1)(3x-2)-(2x+1)(2x+1)-2((2x+1)$
 
$C=(2x+1)[(3x-2)-(2x+1)-2]$
 
$C=(2x+1)(3x-2x-2-2-1)$
 
$\boxed{C=(2x+1)(x-5)}$
 
$D=4(2x+3)^{2}-9(x-1)^{2}$
 
Développer $D$
 
$D=4(4x^{2}+12x+9)-9(x^{2}-2x+1)$
 
$D=(16x^{2}+48x+36)-(9x^{2}-18x+9)$
 
$D=16x^{2}+48x+36-9x^{2}+18x-9$
 
$D=16x^{2}-9x^{2}+48x+18x+36-9$
 
$\boxed{D=7x^{2}+62x+27}$
 
Factoriser $D$
 
$D=(2)^{2}(2x+3)^{2}-(3)^{2}(x-1)^{2}$
 
$D=[2(2x+3)-3(x-1)][2(2x+3)+3(x-1)]$
 
$D=(4x+6-3x+3)(4x+6+3x-3)$
 
$\boxed{D=(x+9)(7x+3)}$
 
$E=x^{2}+9-6x-(3-x)(2x+1)$
 
Développer $E$
 
$E=x^{2}+9-6x-(6x+3-2x^{2}-x)$
 
$E=x^{2}+9-6x-(-2x^{2}+5x+3)$
 
$E=x^{2}+2x^{2}-6x-5x+9-3$
 
$E=x^{2}+2x^{2}-6x-5x+9-3$
 
$\boxed{E=3x^{2}-11x+6}$
 
Factoriser $E$
 
$E=x^{2}-6x+9-(3-x)(2x+1)$
 
$E=(x)^{2}-6x+(3)^{2}-[-(x-3)](2x+1)$
 
$E=(x-3)^{2}+(x-3)(2x+1)$
 
$E=(x-3)(x-3)+(x-3)(2x+1)$
 
$E=(x-3)[(x-3)+(2x+1)]$
 
$E=(x-3)(x-3+2x+1)$
 
$E=(x-)(x+2x-3+1)$
 
$\boxed{(x-3)(3x-2)}$
 
$F=x^{2}+((2-2x)(x-3)-x$
 
$F=x^{2}+(2-2x)(x-3)-x$
 
Développer $F$
 
$F=x^{2}-x+(2-2x)(x-3)$$
 
$F=x^{2}-x+(2x-6-2x^{2}+6x)$
 
$F=x^{2}-x+(-2x^{2}+8x-6)$
 
$F=x^{2}-x-2x^{2}+8x-6$
 
$F=x^{2}-2x^{2}+8x-x-6$
 
$\boxed{F=-x^{2}+7x-6}$
 
Factoriser $F$
 
$F=x^{2}-x+(2-2x)(x-3)$
 
$F=x(x-1)+2(1-x)(x-3)$
 
$F=x(x-1)-2(x-1)(x-3)$
 
$F=(x-1)[(x)-2(x-3)]$
 
$F=(x-1)(x-2x+6)$
 
$\boxed{F=(x-1)(-x+6)}$
 
$G=(x^{2}-0.49)+x(2x+0.3)-0.7(2x+0.3)$
 
Développer $G$
 
$G=(x^{2}-0.49)+(2x^{2}+0.3x)-(1.4x+0.21)$
 
$G=x^{2}-0.49+2x^{2}+0.3x-1.4x-0.21$
 
$G=x^{2}+2x^{2}+0.3x-1.4x-0.49-0.21$
 
$\boxed{G=3x^{2}-1.1x-0.7}$
 
Factoriser $G$
 
$G=(x^{2}-0.49)+x(2x+0.3)-0.7(2x+0.3)$
 
$G=(x^{2}-0.49)+(2x+0.3)[(x-0.7)(2x+0.3)]$
 
$G=(x^{2}-0.49)+(2x+0.3)(x-0.7)$
 
$G=[x^{2}-(0.7)^{2}]+(2x+0.3)(x-0.7)$
 
$G=(x-0.7)(x+0.7)+(2x+0.3)(x-0.7)$
 
$G=(x-0.7)[(x+0.7)+(2x+0.3)]$
 
$G=(x-0.7)(x+0.7+2x+0.3)$
 
$G=(x-0.7)(x+2x+0.7+0.3)$
 
$\boxed{G=(x-0.7)(3x+1)}$
 
$H=3(3x-2)+(-3x+2)^{2}-12x^{2}-8x$
 
Développer $H$
 
$H=(9x-6)+(9x^{2}-12x+4)-12x^{2}-8x$
 
$H=9x-6+9x^{2}-12x+4-12x^{2}-8x$
 
$H=9x^{2}-12x^{2}+9x-12x-8x-6+4$
 
$\boxed{H=-3x^{2}-11x-2}$
 
Factoriser $H$
 
$H=3(3x-2)+(-3x+2)(-3x+2)-(12x^{2}+8x)$
 
$H=3(3x-2)-(3x-2)(-3x+2)-(12x^{2}+8x)$
 
$H=(3x-2)[3-(-3x+2)]-(12x^{2}+8x)$
 
$H=(3x-2)(3+3x-2)-(12x^{2}+8x)$
 
$\boxed{H=(3x-2)(3x+1)-4x(3x+2)}$

Exercice 14

$f(x)=(4x-1)^{2}-(3x-2)^{2}$
 
$g(x)=(x-3)(4x-1)+x^{2}-9$
 
1) Développer, réduire et ordonner $f(x)\text{ et }g(x)$
 
$f(x)=(4x-1)^{2}-(3x-2)^{2}$
 
$f(x)=(16x^{2}-8x+1)-(9x^{2}-12x+4)$
 
$f(x)=16x^{2}-8x+1-9x^{2}+12x-4$
 
$f(x)=16x^{2}-9x^{2}+12x-8x-4+1$
 
$\boxed{f(x)=7x^{2}+4x-3}$
 
$g(x)=(x-3)(4x-1)+x^{2}-9$
 
$g(x)=(4x^{2}-x-12x+3)+x^{2}-9$
 
$g(x)=(4x^{2}-13x+3)+x^{2}-9$
 
$g(x)=4x^{2}-13x+3+x^{2}-9$
 
$\boxed{g(x)=5x^{2}-13x-6}$
 
2) Factoriser $f(x)\text{ et }g(x)$
 
$f(x)=[(4x-1)-(3x-2)][(4x-1)+(3x-2)]$
 
$f(x)=(4x-1-3x+2)(4x-1+3x-2)$
 
$f(x)=(4x-3x+2-1)(4x+3x-1-2)$
 
$\boxed{f(x)=(x+1)(7x-3)}$
 
$g(x)=(x-3)(4x-1)+x^{2}-9$
 
$g(x)=(x-3)(4x-1)+(x-3)(x+3)$
 
$g(x)=(x-3)[(4x-1)+(x+3)]$
 
$g(x)=(x-3)(4x-1+x+3$
 
$\boxed{g(x)=(x-3)(5x+2)}$

Exercice 15

$p(x)=x^{2}-25-(2x+10)(3x-4)$
 
1) Développer, réduire et ordonner 
 
$p(x)=x^{2}-25-(6x^{2}-8x+30x-40)$
 
$p(x)=x^{2}-25-6x^{2}-22x+40$
 
$p(x)=x^{2}-6x^{2}-22x-25+40$
 
$\boxed{p(x)=-5x^{2}-22x+15}$
 
2) Factoriser $p(x)$
 
$p(x)=x^{2}-25-(2x+10)(3x-4)$
 
$p(x)=(x-5)(x+5)-2((x+5)(3x-4)$
 
$p(x)=(x-5)[(x-5)-2(3x-4)]$
 
$p(x)=(x+5)(x-5-6x+8)$
 
$\boxed{p(x)=(x+5)(-5x+3)}$
 
3) Ranger dans l'ordre croissant
 
$p(0)=-5(0)^{2}-22(0)+15$
 
$\boxed{p(0)=15}$
 
$p(-5)=-5(-5)^{2}-22(-5)+15$
 
$\boxed{p(-5)=0}$
 
$p\left(-\dfrac{2}{5}\right)=-5\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}-22\left(-\dfrac{2}{5}\right)+15$
 
$p\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{-20}{25}+\dfrac{44}{5}+15$
 
$p\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{220+375-20}{25}$
 
$p\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{575}{25}=23$
 
$\boxed{p\left(-\dfrac{2}{5}\right)=23}$
 
$0<15<23$
$$\boxed{p(-5)<p(0)<p\left(-\dfrac{2}{5}\right)}$$

Exercice 16

$f(x)=4-9x^{2}+(6x+4)(x-3)$
 
$g(x)=(3x+2)(2x-7)-(3x+2)$
 
1) Développer, réduire et ordonner
 
$f(x)=4-9x^{2}+(6x+4)(x-3)$
 
$f(x)=4-9x^{2}+(6x^{2}-18x+4x-12)$
 
$f(x)=4-9x^{2}+(6x^{2}-14x-12)$
 
$f(x)=4-9x^{2}+6x^{2}-14x-12$
 
$f(x)=-9x^{2}+6x^{2}-14x-12+4$
 
$\boxed{f(x)=-3x^{2}-14x-8}$
 
1) Développer, réduire et ordonner
 
$g(x)=(3x+2)(2x-7)-(3x+2)$
 
$g(x)=(6x^{2}-21x+4x-14)-(3x+2)$
 
$g(x)=(6x^{2}-17x-14)-(3x+2)$
 
$g(x)=6x^{2}-17x-14-3x-2$
 
$g(x)=6x^{2}-17x-3x-14-2$
 
$\boxed{g(x)=6x^{2}-20x-16}$
 
2) a) Factoriser $f(x)\text{ et }g(x)$
 
$f(x)=4-9x^{2}+(6x+4)(x-3)$
 
$f(x)=(2-3x)(2+3x)+(6x+4)(x-3)$
 
$f(x)=(2-3x)(3x+2)+2(3x+2)(x-3)$
 
$f(x)=(3x+2)[(2-3x)+2(x-3)]$
 
$f(x)=(3x+2)(2-3x+2x-6)$
 
$f(x)=(3x+2)(-3x+2x-6+2)$
 
$\boxed{f(x)=(3x+2)(-x-4)}$
 
$g(x)=(3x+2)(2x-7)-(3x+2)$
 
$g(x)=(3x+2)[(2x-7)-1]$
 
$g(x)=(3x+2)(2x-7-1)$
 
$\boxed{g(x)=(3x+2)(2x-8)}$ ou
 
$\boxed{g(x)=2(3x+2)(x-4)}$
 
b) Facteur commun de $f(x)\text{ et }g(x)$
 
Facteur commun de $f(x)$ :
 
$3x+2$
 
Facteur commun de $g(x)$ :
 
$3x+2$
 
$\boxed{\text{facteur commun }g(x)=\text{facteur commun }f(x)=3x+2}$
 
3) Calculer à partir du résultat le plus simple
 
Cf : Le résultat le plus simple c'est la forme développée.
 
Il est plus facile de calculer en prenant la forme développée que la forme factorisée 
 
Calculer $f(0)$
 
$f(x)=-3x^{2}-14x-8$
 
$f(0)=-3(0)^{2}-14(0)-8$
 
$\boxed{f(0)=-8}$
 
Calculer $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
 
$f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}-14\left(-\dfrac{2}{3}\right)-8$
 
$f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-3\left(\dfrac{4}{9}\right)-\left(-\dfrac{28}{3}\right)-8$
 
$f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{4}{3}+\dfrac{28}{3}-8$
 
$f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{24}{3}-8$
 
$f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=8-8=0$
 
$\boxed{f\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=0$
 
Calculer $g(2)$
 
$g(x)=6x^{2}-20x-16$
 
$g(2)=6(2)^{2}-20(2)-16$
 
$g(2)=24-40-16$
 
$\boxed{g(2)=-32}$
 
Calculer $g\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
 
$g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=6\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}-20\left(-\dfrac{2}{3}\right)-16$
 
$g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=6\left(\dfrac{4}{9}\right)+\dfrac{40}{3}-16$
 
$g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{8}{3}+\dfrac{40}{3}-16$
 
$g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{48}{3}-16=16-16=0$
 
$\boxed{g\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=0$
 
4) a) Donner un encadrement d'ordre 1 de $f\left(-\dfrac{7}{3}\right)$
 
$f\left(-\dfrac{7}{3}\right)=-3\left(-\dfrac{7}{3}\right)^{2}-14\left(-\dfrac{7}{3}\right)-8$
 
$f\left(-\dfrac{7}{3}\right)=-3\left(\dfrac{49}{9}\right)+\dfrac{98}{3}-8$
 
$f\left(-\dfrac{7}{3}\right)=-\dfrac{49}{3}+\dfrac{98}{3}-8$
 
$f\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{49}{3}-8$
 
$f\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{49-24}{3}$
 
$\boxed{f\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{25}{3}}$
 
$8.2<\dfrac{25}{3}<8.4$
 
$\dfrac{41}{5}<\dfrac{25}{3}<\dfrac{42}{5}$
 
$$\boxed{8.2<f\left(-\dfrac{7}{3}\right)<8.4}$$
 
b) Donner un encadrement d'ordre 0 de $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
 
$g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=6\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-20\left(-\dfrac{1}{2}\right)-16$
 
$g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=6\left(\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{20}{2}-16$
 
$g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{6}{4}+10-16$
 
$g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}-6$
 
$g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3-12}{2}$
 
$\boxed{g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-9}{2}}$
 
$-5<-\dfrac{9}{2}<-4$
 
$$\boxed{-5<g\left(-\dfrac{1}{2}\right)<-4}$$

Exercice 17

$A(x)=(x+2)(x+3)+5x(x+2)$
 
$B(x)=(x^{2}-4)-(x+2)$
 
1) Développer, réduire et ordonner
 
$A(x)=(x^{2}+3x+2x+6)+(5x^{2}+10x)$
 
$A(x)=(x^{2}+5x+6)+(5x^{2}+10x)$
 
$A(x)=x^{2}+5x+6+5x^{2}+10x$
 
$A(x)=x^{2}+5x^{2}+5x+10x+6$
 
$\boxed{A(x)=6x^{2}+15x+6}$
 
$B(x)=(x^{2}-4)-(x+2)$
 
$B(x)=x^{2}-4-x-2$
 
$\boxed{B(x)=x^{2}-x-6}$
 
2) Factoriser $A(x)\text{ et }B(x)$
 
$A(x)=(x+2)(x+3)+5x(x+2)$
 
$A(x)=(x+2)[(x+3)+5x]$
 
$A(x)=(x+2)(x+3+5x)$
 
$A(x)=(x+2)(6x+3)$
 
$A(x)=(x+2)3(2x+1)$
 
$\boxed{A(x)=3(x+2)(2x+1)}$
 
$B(x)=(x^{2}-4)-(x+2)$
 
$B(x)=(x-2)(x+2)-(x+2)$
 
$B(x)=(x+2)[(x-2)-1]$
 
$B(x)=(x+2)(x-2-1)$
 
$\boxed{B(x)=(x+2)(x-3)}$
 
3) Factoriser $A(x)-B(x)$
 
$(x+2)(x+3)+5x(x+2)-(x^{2}-4)+(x+2)$
 
$(x+2)(x+3)+5x(x+2)-(x-2)(x+2)+(x+2)$
 
$(x+2)[(x+3)+5x-(x-2)+1]$
 
$(x+2)(x+3+5x-x+2+1)$
 
$(x+2)(5x+6)$
 
$\boxed{A(x)-B(x)=(x+2)(5x+6)}$
 
$A(x)+3B(x)$
 
$(x+2)(x+3)+5x(x+2)+3[(x^{2}-4)-(x+2)]$
 
$(x+2)(x+3)+5x(x+2)+3(x^{2}-4)-3(x+2)$
 
$(x+2)(x+3)+5x(x+2)+3(x+2)(x-2)-3(x+2)$
 
$(x+2)[(x+3)+5x+3(x-2)-3]$
 
$(x+2)(x+3+5x+3x-6-3)$
 
$(x+2)(9x-6)$
 
$(x+2)3(3x-2)$
 
$3(x+2)(3x-2)$
 
$\boxed{A(x)+B(x)=3(x+2)(3x-2)}$
 
4) Calculer $A(0)\text{ et }B(0)$
 
$A(x)=6x^{2}+15x+6$
 
$A(0)=6(0)^{2}+15(0)+6$
 
$A(0)=0+0+6$
 
$\boxed{A(0)=6}$
 
$B(x)=x^{2}-x-6$
 
$B(0)=(0)^{2}-(0)-6$
 
$\boxed{B(0)=-6}$
 
Calculer $A(-2)\text{ et }B(-2)$
 
$A(-2)=6(-2)^{2}+15(-2)+6$
 
$A(-2)=24-30+6$
 
$A(-2)=24-24$
 
$\boxed{A(-2)=0}$
 
$B(-2)=(-2)^{2}-(-2)-6$
 
$B(-2)=4+2-6$
 
$B(-2)=6-6$
 
$\boxed{B(-2)=0}$

Exercice 18

1) Développer , réduire et ordonner $M(x)$
 
$M(x)=16(x^{2}+4x+4)-49(x^{2}+6x+9)$
 
$M(x)=(16x^{2}+64x+64)-(49x^{2}+294x+441)$
 
$M(x)=16x^{2}+64x+64-49x^{2}-294x-441$
 
$M(x)=16x^{2}-49x^{2}+64x-294x+64-441$
 
$\boxed{M(x)=-33x^{2}-230x-377}$
 
2) Calculer $M(0)\text{ et }M\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
 
$M(0)=-33(0)^{2}-230(0)-377$
 
$M(0)=0-0-377$
 
$\boxed{M(0)=-377}$
 
$M\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-33\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}-230\left(-\dfrac{2}{3}\right)-377$
 
$M\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-33\left(\dfrac{4}{9}\right)+\dfrac{460}{3}-377$
 
$M\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{-132}{9}+\dfrac{460}{3}-377$
 
$M\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{-132}{9}+\dfrac{1380}{9}-\dfrac{3393}{9}$
 
$M\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{-2145\div 3}{9\div 3}=\dfrac{-715}{3}$
 
$\boxed{M\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{-715}{3}}$
 
3) Factoriser $M(x)$
 
$M(x)=(4)^{2}(x+2)^{2}-(7)^{2}(x+3)^{2}$
 
$M(x)=[2(x+2)-7(x+3)][2(x+2)+7(x+3)]$
 
$M(x)=(2x+4-7x-21)(2x+4+7x+21)$
 
$M(x)=(-5x-17)(9x+25)$
 
$\boxed{M(x)=(-5x-17)(9x+25)}$

Auteur: 
Lassana Diakhaté

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