Solution des exercices : Géométrie dans l'espace

Classe: 
Troisième
 

Exercice 1

 
a) Soit $c$ le côté du carré de base. 
 
D'après la formule donnant le volume d'une pyramide, on a :
 
 
$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}c^{2}\times SH$, soit en remplaçant : 
 
$847=\dfrac{1}{3}c^{2}\times 21.$
 
On en déduit que :
 
$3\times 847=c^{2}\times 21$, 
 
soit : $c^{2}=\dfrac{3\times 847}{21}$, ou encore $c^{2}=121$, et par suite  : 
 
$\boxed{c=11\;cm}.$
 
b) Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, on a d'après le théorème de Pythagore, $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$, 
 
d'où : $AC^{2}=c^{2}+c^{2}=2c^{2}.$ 
 
Il s'ensuit que $\boxed{AC=\sqrt{2}c=11\sqrt{2}}.$
 
c) Dans le triangle $SHC$, rectangle en $H$, on a d'après le théorème de Pythagore, $SH^{2}+HC^{2}=SC^{2}$, 
 
d'où : $SC^{2}=21^{2}+\left(\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=501.5.$ 
 
Par suite, $\boxed{SC=\sqrt{501.5}\cong 22.394\;cm.}$
 
Comme la pyramide est régulière, il est clair que $SA$, $SB$, $SD$ ont la même longueur que $SC.$

Exercice 2

 
1) L'aire de de base étant celle d'un carré, on $AB^{2}=50$, soit $AB=\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\boxed{5\sqrt{2}\;cm.}$
 
Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, on a d'après le théorème de Pythagore, $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$, 
 
d'où : $AC^{2}=2AB^{2}=2\times 50=100.$
 
Il s'ensuit que $\boxed{AC=\sqrt{100}=10\;cm.}$
 
2) Dans le triangle $SHA$, rectangle en $H$, on a d'après le théorème de Pythagore, $SH^{2}+HA^{2}=SC^{2}$, 
 
d'où : $13^{2}=SH^{2}+5^{2}$,
 
Par suite, $SH=\sqrt{3^{2}-5^{2}}=\sqrt{144}=\boxed{12\;cm.}$
 
Le volume de $SABCD$ est alors : 
 
$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 50\times 12=50\times 4=\boxed{200\;cm^{3}}.$

Exercice 3

 
1) Le volume $\mathcal{V_{1}}$ de la pyramide $SABCD$ est donné par : 
 
$\mathcal{V_{1}}=\dfrac{1}{3}\times\text{ aire de base}\times\text{ hauteur}$, 
 
soit : $\mathcal{V_{1}}=\dfrac{1}{3}\times(AB\times BC)\times SH=\dfrac{1}{3}\times 6\times 18\times 24=\boxed{864\;cm^{3}}.$
 
2) $k=\dfrac{SH'}{SH}=\dfrac{SH-HH'}{SH}=\dfrac{24-8}{24}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}.$
 
3) On sait que, dans le cas d'une réduction, le volume obtenu est multiplié par le cube du coefficient de réduction, donc :
 
$\mathcal{V_{2}}=k^{3}\times\mathcal{V_{1}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\times 864=\boxed{256\;cm^{3}}.$
 
$\mathcal{V_{3}}=\mathcal{V_{1}}-\mathcal{V_{2}}=864-256=\boxed{608\;cm^{3}}.$

Exercice 4

1) a) Le coefficient de réduction est : 
 
$k=\dfrac{80}{240}=\dfrac{1}{3}.$
 
On a par hypothèse (voir figure ci-dessous):
 
 
$$OO'=30\;cm\text{ et }SO'=\dfrac{1}{3}SO\;,\text{ d'où }OO'=\dfrac{2}{3}SO.$$
 
On en déduit que : $SO=\dfrac{3}{2}OO'$, 
 
soit : $SO=\dfrac{3}{2}\times 30\dfrac{90}{2}=\boxed{45\;cm}.$
 
Par suite, la hauteur de la pyramide réduite est : 
 
$SO'=\dfrac{1}{3}\times 45\;cm=\boxed{15\;cm}.$
 
b) Le volume du récipient est celui du tronc de pyramide. 
 
Or le volume de la pyramide initiale $SABCD$ est :
 
$\dfrac{1}{3}\times\text{ Aire }(ABCD)\times\text{ hauteur}=\dfrac{1}{3}\times 240^{2}\times 45=864 000\;cm^{3}$ et celui de la pyramide réduite est égal au volume précédent multiplié par le cube du coefficient de réduction, 
 
soit : $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}=\dfrac{1}{27}.$
 
Le volume du récipient est, par conséquent :
 
$864 000-\dfrac{1}{27}\times 864 000=\dfrac{26}{27}\times 864 000=\boxed{832 000\;cm^{3}}.$
 
2) a) Calculons tout d'abord l'apothème de la pyramide initiale $SABCD.$
 
Soit $I$ le milieu de $[BC].$ 
 
Le triangle $SOI$ est rectangle en $O$, d'après une propriété classique (voir figure ci-dessous). 
 
 
Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne : 
 
$SO^{2}+OI^{2}=SI^{2}$, avec $SO=45\;cm$
 
(précédemment calculé) et $OI=\dfrac{1}{2}AB.$
 
Or, puisque $AB=240$ (côté du carré de base), par hypothèse, on a $OI=120$ et par conséquent : 
 
$SI^{2}=45^{2}+120^{2}=16425\;cm^{2}=25\times 9\times 73\;cm^{2}$, 
 
d'où : $SI=15\sqrt{73}\;cm.$
 
La hauteur $[II']$ d'un trapèze tel que $BB'C'C$ est alors $II=\dfrac{2}{3}\times SI=\dfrac{2}{3}\times 15\sqrt{73}=\boxed{10\sqrt{73}\;cm}.$
 
L'aire d'un tel trapèze est alors, d'après la formule :
$$\text{Aire du trapèze}=\dfrac{\text{(Grande Base+Petite Base)}\times\text{Hauteur}}{2}$$
 
Aire $(BB'C'C)=\dfrac{(240+80)\times 10\sqrt{73}}{2}=1600\sqrt{73}\;cm^{2}.$
 
L'aire latérale de ce récipient est, par conséquent : 
 
$4\times 1600\sqrt{73}\;cm^{2}=\boxed{6400\sqrt{73}\;cm^{2}}.$
 

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