Série d'exercices sur les équations, inéquations et systèmes 1e S
Classe:
Première
Exercice 1
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $(2+\sqrt{3})x^{2}-(2\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}-1=0$
2) $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x-2)+1=0$
3) $\dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}<0$
4) $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+x+3 &\geq & 0 \\ x^{2}-16 &\leq & 0 \\ x^{2}+2x-3 & \geq & 0 \end{array}\right.$$
5) $-x^{4}+3x^{2}+4\geq 0$
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, étudier l'existence et le signe des racines :
1) $(m-2)x^{2}+2mx+m+2=0$
2) $(m+1)x^{2}-mx+\dfrac{m-1}{4}=0$
3) $mx^{2}-2mx+m-8=0$
4) $(m-3)x^{2}+(2m-1)x+m+2=0$
5) $(2m-1)x^{2}-2(2m-1)x+m+7=0$
6) $m(m+2)x^{2}-(m+2)x-m+1=0$
Exercice 3
On considère l'équation $(E)\ :\ 6x^{4}+5x^{3}-38x^{2}+5x+6=0$
1) a) 0 est-il solution de $(E)$ ?
b) En posant $y=x+\dfrac{1}{x'}$, démontrer que $(E)$ est équivalente à :
$$6y^{2}+5y-50=0\ (E')$$
2) a) Résoudre $(E')$ dans $\mathbb{R}.$
b) En déduire les solutions de $(E).$
Exercice 4
1) Discuter suivant les valeurs de $m$ l'existence et le signe des racines de :
$(m+2)x^{2}-(m+4)x+2-m=0$
2) Établir la relation indépendante de $m$ qui existe entre les racines.
Retrouver à l'aide de cette relation les racines doubles.
3) Calculer $m$ pour que la somme des inverses des racines soit égale à $\dfrac{1}{5}$
Exercice 5
1) Pour quelles valeurs du paramètre $m$ l'équation :
$mx^{2}-(2m-7)x+m+5=0$ a-t-elle deux solutions positives ?
2) Pour quelles valeurs du paramètre $m$ l'équation :
$mx^{2}-(2m+3)x+m+1=0$ a-t-elle deux solutions négatives ?
3) Pour quelles valeurs du paramètre $m$ l'équation :
$mx^{2}-2(4+m)x+15+m=0$ a-t-elle deux solutions de signes contraires ?
Exercice 6
Résoudre les équations et inéquations irrationnelles suivantes :
1) $\sqrt{5-3}=\sqrt{x^{2}-2x-2}$
2) $\sqrt{x^{2}+2x-3}=\sqrt{3x^{2}-x-2}$
3) $\sqrt{25-x^{2}}=7-x$
4) $\sqrt{x^{2}-x+3}=x^{2}-x+1$
5) $\sqrt{2x+1}+1=3x$
6) $2x+\sqrt{x^{2}-4x-5}=18$
7) $x^{2}-3x+\sqrt{x^{2}-3x+11}=1\ (\text{Poser }X=x^{2}-3x)$
8) $\sqrt{x+2}\leq 3x-4$
9) $\sqrt{7-6x}>2x+1$
10) $\sqrt{(3x^{2}+6x-2)^{2}}\geq 6$
11) $\sqrt{x^{2}+1}\leq x+2$
12) $\sqrt{-x^{2}+3x-2}> x-1$
13) $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}<5x-1$
14) $\sqrt{-x^{2}+3x-2}\geq x-1$
Exercice 7
Résoudre les systèmes suivants :
$$\text{a})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} (\sqrt{3}-1)x+2y &=& -2 \\ x+(\sqrt{3}-1)y &=& -1-\sqrt{3} \end{array}\right.\qquad \text{b})\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} 2\sqrt{x}+3\sqrt{y} &=& 7 \\ 3\sqrt{x}+5\sqrt{y} &=& 11 \end{array}\right.$$
$$\text{c})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+5y^{2} &=& 17 \\ 2x^{2}+11y^{2} &=& 37 \end{array}\right.\qquad\text{d})\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} \dfrac{3}{y-1}-\dfrac{1}{x+2} &=& \dfrac{3}{4} \\ \\ \dfrac{5}{y-1}+\dfrac{3}{x+2} &=& \dfrac{29}{12} \end{array}\right.$$
$$\text{e})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{7}-\dfrac{y}{8} &=& \dfrac{z}{2} \\ \\ x+y+z &=& 85 \end{array}\right.\qquad\text{f})\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} 4|x|-2|y| &=& 8 \\ 6|x|-5|y| &=& 5 \end{array}\right.$$
Exercice 8
Résoudre par la méthode du pivot chacun des systèmes suivants :
$$\text{a})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-2y+7z &=& -36 \\ -10x-7y+z &=& -29 \\ 6x+4y-3z &=& 29 \end{array}\right.\qquad\text{b})\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} -5x-5y-4z+t &=& 73 \\ 4y+3z+2t &=& -29 \\ 5y-5z-t &=& -73 \\ 3x+5y-3z+2t &=& -96 \end{array}\right.$$
$$\text{c})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 9x+3y+z+9t &=& 34 \\ 3x+2y+3-9z+7t &=& 6 \\ -x+y-6z+5t &=& -3 \\ 7x-4y+4z-6t &=& 29 \end{array} \right.$$
Exercice 9
Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :
$$\text{a})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y &=& 1 \\ x^{3}+y^{3} &=& 7 \end{array}\right.\qquad\text{b})\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &=& \dfrac{1}{4} \\ (2x-3)(2y-3) &=& -11 \end{array}\right.$$
$$\text{c})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y &=& -\dfrac{m}{2}\\ 4x-m^{2}y &=& -4 \end{array}\right.$$
($m$ est un paramètre réel)
Exercice 10
Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ les systèmes suivants :
$$\text{a})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+y-z &=& 0\\ x+2y+z &=& 1\\ -x+3y-z &=& 4 \end{array} \right.\qquad\text{b})\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} \dfrac{5x}{3}=\dfrac{-2y}{7} &=& \dfrac{4z}{5} \\ \\ x+y+z &=& 9 \end{array}\right.$$
$$\text{c})\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 7x+2y &=& -4 \\ 3x+2z &=& 10 \\ 9y-10z &=& 10 \end{array}\right.\qquad\text{d})\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y+z &=& a \\ y+z+t &=& b \\ z+t+x &=& c \\ t+x+y &=& d \end{array}\right.$$
Exercice 11
On suppose qu'un cycliste a une vitesse de $25\;km/h$ en terrain plat, de $15\;km/h$ en montée et de $30\;km/h$ en descente.
Ce cycliste met $4h\;24\;min$ pour parcourir une route $AB$ dans le sens de $A$ vers $B$ et $4h\;38\;min$ pour la parcourir dans le sens de $B$ vers $A.$
La route ayant une longueur de $100\;km$, on demande de déterminer les longueurs de terrain plat, de montée et de descente de $A$ vers $B.$
Exercice 12
Un automobiliste effectue un trajet de $505\;km$ en $5h\;20\;min.$ La consommation d'essence correspondante a été de 47 litres.
Le trajet comporte des portions de route, d'autoroute et de traversées de ville.
On sait que la vitesse moyenne de l'automobiliste est de $80\;km/h$ sur route, $120\;km/h$ sur autoroute et $50\;km/h$ en ville.
Par ailleurs la consommation moyenne du véhicule est respectivement de $81\;,\ 101$ et $121$ aux $100\;km$ suivant que l'on est sur route, sur autoroute ou en ville.
Déterminer le kilométrage du trajet sur route, sur autoroute et en traversées de ville.
Exercice 13
Une entreprise de serrures fabrique deux types de serrure, $S_{1}$ et $S_{2}$ , dont les prix de vente sont respectivement 400F et 300F l'unité.
Pour les fabriquer, elle utilise trois types de produit, $A\;,\ B$ et $C$, dans les proportions fixées par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Produit}\backslash\text{Serrures}&A&B&C \\ \hline S_{1}&15&10&5 \\ \hline S_{2}&9&10&10 \\ \hline \text{Stock disponible}&900&700&600 \\ \hline \end{array}$$
L'objectif est de rendre maximale la recette totale en combinant au mieux les productions des deux serrures.
1) Choisir les deux inconnues $x$ et $y$
Traduire les trois contraintes de stock en inéquations à deux inconnues $x$ et $y.$
2) Traduire graphiquement les inéquations.
En déduire la zone $Z$ des productions $(x\;;\ y)$ possibles.
3) Tracer sur le graphique précédent les droites de production que réaliseraient une recette totale de 24 000F, une autre de 18 000F.
4) En déduire le sommet $T$ de $Z$ qui rend cette recette totale maximale. Calculer les coordonnées de $T$.
Combien produira-t-on alors de serrures $S_{1}$ et $S_{2}$ ?
5) Calculer la recette totale maximale.
Exercice 14
Les gérants d'un club de football veulent offrir à leurs joueurs 31 paires de chaussures et 50 maillots.
Ils s'adressent à deux fournisseurs qui proposent :
l'un des lots $A$ : 5 paires de chaussures et 10 maillots pour 125 000 F
l'autre des lots $B$ : 8 paires de chaussures et 10 maillots pour 150 000 F
On suppose que les gérants commandent $x$ lots $A$ et $y$ lots $B.$
1) Exprimer la dépense des organisateurs en fonction de $x$ et $y.$
2) Exprimer sous forme d'un système d'inéquations les contraintes imposées aux gérants concernant le nombre minimal de maillots et de chaussures à distribuer.
Représenter graphiquement ce système.
3) Quelles valeurs de $x$ et $y$ fournissent une dépense minimale ?
Exercice 15
On considère les équations suivantes :
$(1)\quad f(x)=x^{2}+px+q=0\quad\text{ et }\quad(2)\quad g(x)=x^{2}+p'x+q'q$
qui sont supposées avoir chacune deux racines $\alpha$ et $\beta$ pour la (1), $\alpha'$ et $\beta'$ pour la (2).
1) Démontrer que chacun des produits $f(\alpha')f(\beta')$ et $g(\alpha)g(\beta)$ a pour valeur
$$R=(p-p')(pq'-qp')+(q-q')^{2}$$
2) En déduire des conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux équations aient une racine commune et une seule.
Exercice 16
Déterminer deux équations du second degré telles que les racines de chacune d'elles
soient la somme et le produit des racines de l'autre.
Exercice 17
Factoriser en un produit de deux trinômes du second degré chacun des polynômes suivants :
$P_{1}(x)=3x^{4}-11x^{2}-4$
$P_{2}(x)=6x^{4}-13x^{2}+6$
$P_{3}(x)=4x^{4}+x^{2}-5$
Exercice 18
Résoudre et discuter l'équation d'inconnue $x$ suivante : $m(x^{2}+1)^{2}-2(x^{4}+1)=0$
Démontrer que, lorsqu'elle admet quatre racines $x_{1}\;,\ x_{2}\;,\ x_{3}$ et $x_{4}$, celles-ci sont liées par :
$$x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=0\;\quad x_{1}x_{3}=-x_{2}x_{4}=1$$
Exercice 19
1) Montrer que l'équation $(E)\ :\ 2x^{2}-8x-18= 0$ admet deux racines distinctes $x'$ et $x''$
2) Sans calculer $x'$ et $x''$, déterminer :
$x'^{2}+x''^{2}\;,\ x'-x''\;(\text{on suppose}\;x'<x'')\;,\ x'^{3}+x''^{3}\;,\ \dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{x''}\;,\ \dfrac{x'-1}{x''}+\dfrac{x''-1}{x'}$
3) Former l'équation dont les racines sont :
$X'=\dfrac{x'^{2}+x''}{x''}\;\text{ et }\;X''=\dfrac{x''^{2}+x'}{x'}$
Exercice 20
Dans chacun des cas suivants, montrer que l'équation proposée $(E)$ a 2 racines $x'$ et $x''.$
Puis calculer la valeur numérique des expressions $A$ et $B$
1) $(E)\ :\ 2x^{2}-3x-1=0$
$A=2(x'^{3}+x''^{3})-(x'^{2}+x''^{2})-5(x'+x'')\;\quad B=(x'^{2}-1)(x''^{2}-1)$
2) $(E)\ :\ x^{2}-4x+1=0$
$A=\dfrac{1}{x'^{2}}+\dfrac{1}{x''^{2}}+\dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{x''}\;\quad B=\dfrac{x'-1}{x''-1}+\dfrac{x'+1}{x''+1}$
Exercice 21
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
1) $\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}=x-3$
2) $2-\sqrt{-x+x+1}\leq x$
3) $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=2$
4) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{5-2x}=\sqrt{4x+7}$
Exercice 22
Résoudre et discuter les équations suivantes :
1) $5\sqrt{|x|-x}=m-2x$
2) $\sqrt{x+1}=mx+2$
3) $\sqrt{(m-x)x^{2}-2m}=2-x$
Exercice 23
1) Résoudre l'équation suivante : $3x^{4}+x^{3}-10x^{2}-x+3=0$, en utilisant le changement $x-\dfrac{1}{x}=X$
2) Résoudre l'équation suivante : $x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x+1=0$, en utilisant le changement : $x+\dfrac{1}{x}=X$
3) Résoudre l'équation suivante : $x^{4}-9x^{3}+28x^{2}-36x+16=0$ en utilisant le changement : $x+\dfrac{4}{x}=X$
Exercice 24
1) Résoudre l'équation : $(x^{2}+x-1)^{2}-6(x^{2}+x-2)-1=0$
2) Résoudre et discuter l'équation : $(2x^{2}+4x-1)^{2}-6(2x^{2}+4x+m)+4m+3=0$
3) Résoudre et discuter l'inéquation : $mx^{2}+(m-1)x+m-1<0$
Démontrer que l'équation $f(x)=(x-1)(x-3)-m(x+1)(x-2)=0$ admet des racines quel que soit $m$ et classer les racines par rapport aux réels $-1\;,\ 1\;,\ 2$ et 3.
Exercice 25
On considère les équations suivantes :
$(1)\quad f(x)=x^{2}-x-1=0$
$(2)\quad g(x)=x^{2}+mx-1=0\;\text{ avec }\;m\in\;\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ dont les racines sont $\alpha$ et $\beta$ pour la (1), $\alpha'$ et $\beta'$ pour la (2) (on justifiera l'existence de $\alpha\;,\ \alpha'\;,\ \beta$ et $\beta'$), avec $\alpha<\beta$ et $\alpha'<\beta'$.
Sans résoudre ces équations, démontrer que leurs racines sont enchevêtrées (c'est à-dire que chacune d'elles a une racine et une seule comprise entre les racines de l'autre).
Classer, suivant les valeurs de $m$, les quatre racines par ordre croissant.
Résoudre et discuter le système :
$$\left\lbrace\begin{array}{r} mx^{2}-2(m-2)x+2m-1 < 0 \\ -1<x < 1 \end{array}\right.$$
Exercice 26
Résoudre les inéquations :
1) $0<y=\dfrac{x^{2}-mx+1}{3(x^{2}+x+1)}<1$
2) $\dfrac{x}{x-m}+\dfrac{2}{x+m}>\dfrac{8m^{3}}{x^{2}-m}$
3) $\sqrt{3x(8-x)}<m-x$
4) $\sqrt{3x^{2}+2x-1}<\sqrt{2x^{2}+x+1}$
Exercice 27
$m$ étant un paramètre, résoudre et discuter les systèmes :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2mx+(m+1)y &=& 2 \\ (m+2)x+(2m+1)y &=& m+2 \\ 5x+(2m-1)y-3z&=&3(m+2) \end{array}\right.$$
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} mx+y+z &=& 1 \\ x+y+mx+z &=& m \\ x+y+mz&=&m^{2} \end{array}\right.$$
Résoudre et discuter les systèmes suivants en supposant $a\;,\ b\;,\ c$ distincts :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+ay+a^{2}z+a^{3} &=& 0 \\ x+by+b^{2}z+b^{3} &=& 0 \\ x+cy+c^{2}z+c^{3}&=&0 \end{array}\right.$$
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+ay+a^{2}z+a^{4} &=& 0 \\ x+by+b^{2}z+b^{4} &=& 0 \\ x+cy+c^{2}z+c^{4} &=& 0\end{array}\right.$$
Exercice 28
1) Résoudre en discutant suivant les valeurs du paramètre, le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2(x+1) &=& m(5y-5m-14) \\ 3x+2y &=& 11m+5 \end{array}\right.$$
2) Pour quelles valeurs du paramètre $m$, $x$ et $y$ prennent-ils des valeurs positives ?
Comparer dans ce cas les deux nombres $x$ et $y$ .
3) Les conditions précédentes étant remplies, peut-on choisir $m$ pour que $x$ et $y$ soient les mesures des cotés d'un triangle isocèle . (Envisager tous les cas géométriques possibles).
Exercice 29 Existence d'un triangle
$x$ et $y$ sont deux réels positifs donnés. Par la suite, on dira que "$x$ et $y$ vérifient la condition $T$" pour indiquer que l'on peut construire un triangle dont les cotés ont pour longueurs $x\;,\ y$ et 1.
a) Supposons que $x$ soit le plus grand de ces trois réels ($x\geq y$ et $x\geq 1$).
Dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, représenter l'ensemble des points $M(x\;;\ y)$ tels que $x\geq y$ et $x\geq 1$.
Parmi ces points, quels sont ceux dont les coordonnées vérifient la condition $T$ ?
b) Reprendre le a) sur le même repère lorsque
$(i)\quad y\geq x$ et $y\geq 1$
$(ii)\quad 1\geq x$ et $1\geq y$
c) Quels sont les points qui correspondent à des triangles isocèles ? à des triangles équilatéraux ?
Exercice 30
Résoudre les systèmes suivants :
1) $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a^{2}+b^{2}-2a-3b &=& 9 \\ 3a^{2}+3b^{2}-a+5b &=& 1\end{array}\right.$$
($a\;,\ b$ inconnues)
2) $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} a+b-ab &=& \dfrac{2m-1}{m^{2}-1} \\ (a+1)(b+1) &=& \dfrac{m(m+2)}{m^{2}-1} \end{array}\right.$$
($a\;,\ b$ inconnues, $m$ paramètre)
3) Soit le système :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y &=& 2 \\ x^{2}+y^{2}+4xy-m^{2}+4 &=& 0\ (x\;,\ y\; \text{ inconnues }, m\;\text{ paramètre}) \end{array}\right.$$
Discuter l'existence et le nombre de solutions de ce système suivant les valeurs du paramètre $m$
Exercice 31
Une équation du second degré a ses racines $x'$ et $x''$ telles que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} mx'+mx''-m &=& 4-2x'-2x'' \\ mx'x''+m &=& 2-2x'x'' \end{array}\right.$$
1) Former cette équation dont les coefficients dépendent du paramètre $m$
2) Montrer qu'il existe entre $x'$ et $x''$ une relation indépendante de $m$.
3) Utiliser cette relation pour déterminer les racines doubles de l'équation obtenue.
4) Comment faut-il choisir $m$ pour que les deux racines soient positives ?
$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 10/03/2019 - 22:58
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tres efficace
Anonyme (non vérifié)
ven, 07/10/2020 - 13:00
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Je n'arrive pas à resoudre l
Anonyme (non vérifié)
jeu, 11/26/2020 - 22:59
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Corrigé svp
Soda (non vérifié)
ven, 11/27/2020 - 07:23
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Je n'arrive pas à résoudre
Seykou (non vérifié)
jeu, 12/03/2020 - 21:30
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Svp
Anonyme (non vérifié)
dim, 12/06/2020 - 20:30
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S'il vous plaît le corrigé
Anonyme (non vérifié)
ven, 12/11/2020 - 01:26
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J'aime beaucoup les
Anonyme (non vérifié)
lun, 01/18/2021 - 21:28
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Cool
Anonyme (non vérifié)
dim, 09/12/2021 - 16:29
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Salut! Un grand merci à vous
Anonyme (non vérifié)
mar, 08/02/2022 - 14:48
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Merci beaucoup pour votre
Sacko Diadie (non vérifié)
ven, 01/26/2024 - 19:00
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D'augmenter mes compétences
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