Série d'exercices : Probabilités - Ts

Classe: 
Terminale

Probabilités simples

Exercice 1

Dans une classe de quarante élèves, un professeur a chargé un élève d'une enquête ;les quarante élèves ont répondu soit par oui,soit par non (pas d'abstention) à chacune des deux questions posées :

A la question $n^{\circ}1$ : « Aimez-vous la lecture ? » ? Vingt élèves ont répondu oui.

A la question $n^{\circ}2$ : « Aimez-vous le sport ? » ? Vingt-six élèves ont répondu oui.

On a par ailleurs dénombré huit élèves n'aimant ni la lecture ni le sport.

On interroge au hasard un élève de cette classe.

Quelle est la probabilité pour qu'il aime à la fois le sport et la lecture ?

Quelle est la probabilité pour qu'il n'aime que le sport ?

Exercice 2

Dans un sac, il y a 9 boules blanches ou noires, petites ou grosses.

On sait qu'il y a 5 grosses et 4 petites, et que 6 sont blanches et 3 sont noires.

1) Sachant qu'il y a 3 boules à la fois blanches et grosses, déterminer le nombre de boules « petites et noires », « petites et blanches ».

(On pourra utiliser un diagramme.)

2) On tire une boule au hasard ; chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, déterminer les probabilités pour qu'elle soit :

a) petite et blanche ;

b) blanche ;

c) blanche ou petite ;

d) ni blanche ni petite.

Exercice 3

Un sac contient cinq boules blanches numérotées $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\text{ et }5$, trois boules rouges numérotées $1\;,\ 2\;,\ 3$ et deux boules noires numérotées 1 et 2.

On tire simultanément 2 boules.

On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

Calculer les probabilités des événements suivants :

a) tirer deux boules blanches ; b) tirer deux boules de même couleur ; c) tirer deux boules partant le même numéro.

$\text{a) }\dfrac{2}{9}\quad \text{b) }\dfrac{14}{45}\quad \text{c) }\dfrac{7}{45}$

Exercice 4

On tire deux cartes simultanément d'un jeu de 32 cartes.

Calculer la probabilité pour qu'il y ait :

a) au moins un as

b) exactement un as

c) deux as.

$\text{a) }\dfrac{59}{248}\quad \text{b) }\dfrac{7}{31}\quad \text{c) }\dfrac{3}{248}$

Exercice 5

Dans une ville, il existe deux lycées, l'un de garçons, l'autre de filles.

Chaque lycée a une classe de Terminale S1, une classe de Terminale S2 et une classe de Terminale L.

Une bourse de voyage est offerte par la ville à six élèves parmi les élèves des six classes terminales.

Pour cela, on choisit les six meilleurs élèves de chaque classe, soit, en tout, trente-six élèves, et les noms des six boursiers sont alors déterminés par tirage au sort parmi ces trente-six élèves.

On demande de calculer les probabilités :

a) pour que les six boursiers soient les six élèves de la Terminale S2 garçons.

b) pour que les six boursiers soient des élèves de la Terminale S2.

c) pour que les six boursiers soient six filles

d) pour que les six boursiers soient trois garçons et trois filles.

e) pour que, dans les six boursiers, il y ait moins de trois garçons.

Exercice 6

Un sac contient 5 jetons numérotés $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4.5.$

On les tire au hasard, un par un, en les plaçant les uns à côté des autres, de gauche à droite de manière à former un nombre de 5 chiffres.

Calculer la probabilité pour que :

a) $n$ soit pair ;

b) $n$ soit supérieur à 23 000.

Exercice 7

On marque $n$ points sur un cercle.

On en choisit deux au hasard.

Quelle est la probabilité pour qu'ils soient voisins ?

Même question lorsque les points sont sur une droite

Exercice 8

On range au hasard $n$ boules numérotées $1\;,\ 2\;,\ 3\cdots\;,\ n$ dans $n$ trois numérotés $1\;,\ 2\;,\ 3\cdots\;,\ n$ en mettant une boule par tiroir.

Quelle est la probabilité pour que la boule 3 soit dans le tiroir 3 ?

que les boules 3 et 5 soient respectivement dans les tiroirs 3 et 5 ?

Exercice 9

Une urne contient $n$ boules.

On en tire au hasard une partie non vide.

Quelle est la probabilité pour que $A$ ait un cardinal pair ?

Exercice 10

On tire 5 cartes, au hasard, d'un jeu de 32 cartes.

Quelle est la probabilité d'avoir

a) l'as de cœur ;

b) un as et un seul ;

c) deux as et deux seulement ;

d) exactement trois as ;

e) les quatre as ;

f) au moins un as.

Exercice 11

Une urne contient 12 boules noires et 2 boules blanches.

1) On tire simultanément boules.

On suppose l'hypothèse d'équiprobabilité.

Quelle est la probabilité d'avoir deux boules blanches ?

D'avoir au moins une boule blanche ?

2) Combien de boules faut-il tirer, au minimum, pour que la probabilité d'avoir au moins une boules blanche soit supérieure à $\dfrac{5}{6} ?$

Exercice 12

Dans une urne, il y a dix jetons portant le numéro 3 et cinq jetons portant le numéro 2

On considère l'épreuve qui consiste à tirer simultanément deux jetons. Tous les tirages sont équiprobables.

1) Calculer la probabilité de l'événement

A : « la somme des points marqués sur les jetons est égale à 4 ».

2) Calculer la probabilité de l'événement

B : « la somme des points marqués sur les jetons est égale à 5 ».

3) Calculer la probabilité de l'événement

c : « la somme des points marqués sur les jetons est paire ».

Exercice 13

On associe au jet d'un dé pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'univers

$\Omega={1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6}$ et la probabilité $p$ satisfaisant aux conditions suivantes :

a) les événements ${4}\;,\ {5}\text{ et }{6}$ sont équiprobables.

b) $p(2)=p(3)=\dfrac{2}{3}p(1).$

c) la probabilité de l'événement ${1\;,\ 2\;,\ 3}$ est égale aux $\dfrac{4}{5}$ de l'événement contraire.

1) Donner les valeurs de $p$ pour les événements élémentaires.

2) Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat impair par le jet de ce dé ?

3) Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat inférieur à 5 ?

Exercice 14

1) Un joueur tire simultanément quatre cartes d'un jeu de trente-deux.

En supposant que les tirages soient équiprobables, calculer la probabilité $p_{1}$ de l'événement « le joueur tire l'as de cœur ».

2) Ce joueur étant tricheur utilise un jeu de cartes biseautées $(\ast)$ ; ce qui lui permet d'obtenir exactement deux as pour tout tirage de quatre cartes.

En supposant que ces nouveaux tirages soient équiprobables, calculer la probabilité de l'événement « le joueur tire l'as de cœur ».

$(\ast)\ biseautées=coupées\ obliquement$

Exercice 15

Une urne contient six boules blanches et quatre boules noires.

On appelle « tirage » la prise simultanée de deux boules dans cette urne, et l'on admet que tous les tirages sont équiprobables.

1) On procède à un tirage unique. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : on obtient deux boules blanches ;

B : on obtient deux boules noires ;

C : on obtient deux boules de couleurs différentes ;

Quelle est la somme de ces trois probabilités ?

2) On procède à deux tirages successifs en remettant dans l'urne, après le premier tirage, les deux boules tirées.

On appelle « succès » la sortie de deux boules blanches lors d'un même tirage.

Calculer :

a) la probabilité d'obtenir deux succès ;

b) la probabilité d'obtenir un seul succès ;

c) la probabilité de n'obtenir aucun succès ;

Quelle est la somme de ces trois probabilités ?

Exercice 16

On veut construire une grille de mots croisés ayant cinq lignes et cinq colonnes.

On noircira, au hasard, huit des vingt-cinq cases de la grille et on considèrera que les choix des cartes sont équiprobables.

1) De combien de manières peut-on choisir les huit cases noires de la grille ?

2) Quelle est la probabilité, lors d'une épreuve, d'obtenir un tableau ainsi constitué :

une case noire au centre du carré et une à chacun des sommets, les trois autres cases noires étant à une place quelconque ?

3) Quelle est la probabilité d'obtenir, lors d'une épreuve, une grille dont une colonne est entièrement composée de cases noires, les trois autres cases noires étant à une place quelconque ?

On donnera, des probabilités demandées, des valeurs décimales approchées exprimées avec cinq décimales.

Exercice 17

Une urne contient cent billets numérotés de 1 à 100.

1) On extrait de l'urne un billet. Sachant que chaque billet a la même probabilité d'être extrait, quelle est la probabilité d'obtenir un billet dont le numéro est terminé par le chiffre 2 ?

2) On tire deux billets de l'urne simultanément.

Donner le nombre de tirages différents possibles.

3) Ces billets sont utilisés pour une tombola.

Chaque billet dont le numéro est terminé par un chiffre 2 donne droit à un lot.

On extrait simultanément deux billets de l'urne.

Les événements élémentaires attachés à cette expérience sont équiprobables.

Soit A l'événement « gagner un lot et un seulement » ;

Soit B l'événement « gagner deux lots » ;

Soit C l'événement « gagner au moins un lot » ;

Calculer la probabilité des événements $A\;,\ B\;,\ C.$

Exercice 18

On dispose de 26 jetons identiques.

Sur chacun d'eux, on inscrit une des 26 lettres de l'alphabet (deux jetons ne portent pas la même lettre).

On les met dans un sac et on en tire 3 successivement sans remise.

Quelle est la probabilité de tirer :

a) Trois consonnes ?

b) Trois voyelles ?

c) les lettres B , A , C dans cet ordre ?

d) les lettres B , A , C sans tenir compte de l'ordre ?

Exercice 19

On met dans une urne les lettres susceptibles de former le mot et l'on tire successivement cinq lettres au hasard.

Quelle est la probabilité pour que, dans l'ordre de l'obtention, ces lettres forment le mot moine :

a) Si l'on remet la lettre après chaque tirage ?

b) Si l'on laisse la lettre hors de l'urne après chaque tirage ?

Exercice 20

On partage un cercle en six parties égales.

On obtient les points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F$ qui sont les sommets consécutifs d'un hexagone régulier.

On considère, d'autre part, l'ensemble U constitué par ces six lettres.

1) On tire au hasard et simultanément deux lettres dans U.

Quelle est la probabilité pour que ces deux lettres désignent deux sommets consécutifs de l'hexagone ?

2) On tire maintenant, au hasard et simultanément, trois lettres dans U.

Quelle est la probabilité pour que ces trois lettres obtenues désignent les sommets :

a) D'un triangle équilatéral (les trois côtés égaux) ?

b) D'un triangle isocèle non équilatéral (deux côtés égaux) ?

c) D'un triangle rectangle (un côté du triangle doit être un diamètre du cercle) ?

Exercice 21

Une cible circulaire est divisée en dix régions par dix cercles concentriques de rayons $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\cdots\;,\ 10\;cm.$

Aucune balle ne pouvant sortir de la cible, on appelle événement l'impact d'une balle dans le disque central, ou dans une des couronnes circulaires ainsi tracées.
 
On suppose que la probabilité pour que la balle atteigne une région de la cible est proportionnelle à de cette région.

On rappelle que l'aire d'un disque de rayon $R\text{ est }\pi R^{2}.$

1) Quelles sont les probabilités respectives d'atteindre le disque central et chacune des couronnes ?

2) On donne dix points si la balle atteint le disque central, neuf si elle atteint la première couronne de rayons 1 et 2, huit si elle atteint la seconde couronne, etc..., et un point pour la dernière couronne.

Calculer la probabilité d'un score supérieur ou égal à 8.

Exercice 22

On utilise deux dés supposés parfaits, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

1) On lance simultanément les deux dés.

Calculer la probabilité :

a) d'obtenir deux fois le numéro 6 ;

b) d'obtenir une fois et une fois seulement le numéro 6 ;

c) de ne pas obtenir le numéro 6.

2) Un joueur procède à l'expérience suivante :

il lance simultanément les deux dés et :

a) s'il obtient deux fois le numéro 6, il a gagné ;

b) s'il obtient une fois seulement le numéro 6, il relance le dé qui ne marquait pas 6 :
 
si celui-ci donne 6, le joueur a gagné ;

c) s'il n'obtient pas de numéro 6, il relance les deux dés ; s'il obtient alors deux fois le numéro 6, il a gagné.

Calculer la probabilité pour que ce joueur gagne.

N.B.

On exprimera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Exercice 23

Dans une urne, il y a sept boules blanches et neuf boules noires. On effectue deux tirages successifs sans remise.

On suppose l'équiprobabilité de sortie des boules.

On demande la probabilité des événements suivants :

a) tirer une première boule blanche puis une deuxième boule noire ;

b) les deux boules tirées sont blanches ;

c) les deux boules tirées sont de couleurs différentes ;

e) tirer au moins une boule noire.

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Exercice 24

Sur six objets manufacturés, deux sont défectueux.
 
On veut les trouver à l'aide d'un test qui s'arrête dès que les deux objets défectueux sont identifiés.

1) Quelle est la probabilité pour que le test s'arrête au bout de deux opérations ?

2) Quelle est la probabilité pour que ce test nécessite au moins trois opérations ?

Exercice 25

On dispose de trois dés A , B et C , non pipés, c'est-à-dire que chaque face a la même probabilité d'apparition.

Le dé A porte sur une face le nombre 3, sur trois faces le nombre 4 et sur deux faces le nombre 5.

Le dé B porte sur deux faces le nombre 4 et sur quatre faces le nombre 5.

Le dé C porte sur cinq faces le nombre 4 et sur une face le nombre 2.

On lance simultanément les trois dés.

Quelle est la probabilité d'avoir :

1) trois nombres égaux ;

2) l'ensemble $\{2\;,\ 4\;,\ 5\}$ ;

3) un total supérieur ou égal à 12 ?

Exercice 26

Les êtres humains sont répartis, d'après la composition du sang, en quatre groupes :
 
O , A , B , AB.

Dans une assemblée de dix donneurs de sang, quatre personnes appartiennent au groupe O , trois personnes appartiennent au groupe A, deux personnes appartiennent au groupe B et personnes appartiennent au groupe AB.

On tire au sort trois personnes de l'assemblée.

En admettant que chacun des donneurs a la même chance d'être choisi, on demande de calculer :

a) la probabilité pour que les trois personnes appartiennent au même groupe sanguin.

b) la probabilité pour que deux au moins d'entre elles appartiennent au même groupe sanguin
 
c) la probabilité pour que les trois personnes appartiennent à trois groupes différents.

Exercice 27

Un code est composé de quatre chiffres dans l'ordre, choisis parmi les 10 chiffres :

$0\;;\ 1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 6\;;\ 7\;;\ 8\text{ et }9.$

La serrure s'ouvre si les quatre bons chiffres sont tapés dans l'ordre.

Si aucun des chiffres n'est le bon, l'alarme se déclenche, c'est-à-dire que $\left(a\;;\ b\;;\ c\;;\ d\right)$ étant le code, si on tape $\left(a'\;;\ b'\;;\ c'\;;\ d'\right)$ et que $a\neq a'\;;\ b\neq b'\;;\ c\neq c'\text{ et }d\neq d'.$

1) Dans cette question, on sait que le code est constitué par les chiffres : $2\;;\ 5\;;\ 7\text{ et }9$

On essaie un code au hasard.

Quelles sont les probabilités :

a) de taper le bon code ?

b) de ne pas déclencher l'alarme ?

2) Dans cette question, on ne dispose d'aucun renseignement sur les chiffres du code.

Calculer les probabilités :

a) de taper le bon code.

b) de ne pas déclencher l'alarme.

Exercice 28

On considère le système d'inconnue le couple

$(x\;;\ y)\text{ de }\mathbb{R}^{2}$ :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x-2y &=& 3\\ ax-by &=& c \end{array}\right.$$

où $a\;,\ b\text{ et }c$ désignent trois paramètres appartenant à l'ensemble $\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 6\}$

Pour déterminer $a\;,\ b\text{ et }c$, on lance trois fois de suite un dé cubique supposé parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Le premier numéro sorti donne $a$, le deuxième $b$ et le troisième $c.$

Calculer les probabilités pour que :

a) le système ait une infinité de solutions.

b) le système n'ait aucune solution.

c) le système admette une unique solution.

d) le système admette la solution unique $(3\;;\ 0).$

Exercice 29

Le jeu de passe-dix

On jette simultanément trois dés.
 
On gagne si le total est 11 ou 12.

1) Explication d'un paradoxe

a) De combien de façons peut-on obtenir 11 comme une somme de trois nombres appartenant à :

$\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 6\}$ ?

De même pour 12 ?

b) On constate expérimentalement que le 11 apparaît plus souvent que le 12.

Calculer la probabilité d'apparition du 11 et celle du 12.

Le calcul confirme-t-il la constatation expérimentale ? (Historiquement, Blaise PASCAL donna le premier une explication de ce phénomène.)

2) la probabilité de gagner au jeu de passe dix.

Exercice 30

Ousseynou possède dans le tiroir de son armoire, 5 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes vertes et 2 paires rouges.

Ces chaussettes, indiscernables au toucher, se trouvent mélangées dans le plus grand désordre Un jour, Ousseynou, pressé, prend au hasard deux chaussettes dans le tiroir.

1) Calculer, à 0.01 près par défaut, la probabilité pour qu'Ousseynou ait tiré deux chaussettes noires.

2) Calculer, à 0.01 près par défaut, la probabilité pour qu'Ousseynou ait tiré deux chaussettes de la même couleur.

3) En supposant que les nombres de chaussettes vertes et rouges restent inchangées, déterminer le nombre $n$ de chaussettes noires devant se trouver dans le tiroir pour que la probabilité qu'Ousseynou ait tiré deux chaussettes noires soit égale à $\dfrac{2}{7}.$

Probabilités conditionnelles

Exercice 31 Maths Français

Écrire sous forme de probabilité les propositions suivantes :

1) Il y a $60%$ de femmes parmi les infirmiers.

2) Le taux de chômage des jeunes dans un pays est de $30\%.$

3) La proportion de jeunes parmi les chômeurs est $40\%.$

4) Les jeunes chômeurs constituent $10\%$ de la population totale.

5) Parmi les personnes de plus de 70 ans, il y a trois femmes pour un homme.

6) Dans une population donnée, il y a trois femmes pour un homme.

Exercice 32

Une assemblée comporte $40\%$ d'hommes dont $20\%$ sont des fumeurs.
 
Par ailleurs, il y a $10\%$ de fumeurs dans cette assemblée.

Une personne fume ; quelle est la probabilité pour que ce soit un homme ? une femme ?

Exercice 33

Au cours d'une épidémie de choléra, on vaccine un tiers de la population.
 
Parmi les cholériques, un sur dix est vacciné.
 
La probabilité pour une personne choisie au hasard d'être cholérique est 0.25.

Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de contracter le choléra ?

Exercice 34

Un cinquième des cars de transport en commun qui traversent la communauté rurale de NDIAGANIAO sont des « Ndiaga Ndiaye » et la moitié des cars qui traversent cette même ville s'y arrêtent.

Parmi ces derniers, il y a $25\%$ de « Ndiaga Ndiaye ».

Quelle est la probabilité d'arrêt d'un « Ndiaga Ndiaye » dans cette communauté rurale ?

Exercice 35

On lance un dé bleu et un dé rouge.

Quelle est la probabilité d'avoir la somme des deux faces égale à un nombre pair sachant que le dé rouge affiche 3 ?

Exercice 36

Une assemblée comporte $40\%$ d'hommes dont $20\%$ sont des fumeurs.
 
Parmi les fumeurs, $60\%$ sont des hommes.
 
Quel est le pourcentage de fumeurs dans cette assemblée ?

Exercice 37

Au cours d'une épidémie de choléra, on vaccine un tiers de la population.
 
Parmi les cholériques, un sur dix est vacciné ; parmi les vaccinés, un sur cent est cholérique.

Quelle est la probabilité pour un individu de contracter le choléra ?

Exercice 38

On tire 2 cartes au hasard d'un jeu de 32 cartes.
 
Calculer la probabilité que les cartes extraites soient des cœurs sachant que l'une de ces cartes est de couleur rouge.

Exercice 39

On jette deux dés.
 
Calculer la probabilité que l'un d'eux montre l'as sachant que les deux faces ne sont pas semblables.

Exercice 40

On extrait 8 cartes d'un jeu de 32 cartes.

1) Quelle est la probabilité d'avoir le valet de pique sachant que l'on a l'as de pique ?

2) Quelle est la probabilité d'avoir le valet de pique sachant que l'on a quatre piques ?

Exercice 41

Une entreprise dispose de 5 usines $\left(\text{U}_{1}\;,\ \text{U}_{2}\;,\ \text{U}_{3}\;,\ \text{U}_{4}\;,\ \text{U}_{5}\right)$ pour fabriquer ses produits.

L'usine $\text{U}_{1}$ assure $25\%$ de la production et a $2\%$ de perte (c'est-à-dire que $2\%$ des pièces produites par cette usine sont défectueuses) ;

l'usine $\text{U}_{2}$ assure $15\%$ de la production et a $3\%$ de perte ;
 
l'usine $\text{U}_{3}$ assure $20\%$ de la production et a $2\%$ de perte ;
 
l'usine $\text{U}_{4}$ assure $10\%$ de la production et a $4\%$ de perte ;

l'usine $\text{U}_{5}$ assure $30\%$ de la production et a $1\%$ de perte.

Déterminer la probabilité de l'événement D « une pièce produite dans cette entreprise est défectueuse ».

(Utiliser $\text{D}=\left(\text{D}\cap \text{U}_{1}\right)\;\cup\;\left(\text{D}\cap \text{U}_{2}\right)\;\cup\;\left(\text{D}\cap \text{U}_{3}\right)\;\cup\;\left(\text{D}\cap \text{U}_{4}\right)\;\cup\;\left(\text{D}\cap \text{U}_{5}\right)$

Exercice 42

On dispose de 3 urnes A , B et C.
 
La probabilité de tirer une boule noire dans A (respectivement dans B et C) est 0.2 (respectivement 0.5 et 0.3).

On tire une boule dans A. Si elle est noire, on tire une autre boule dans B ; sinon, on tire une autre boule dans C.

Déterminer la probabilité de l'événement « la deuxième boule tirée est noire ».

Exercice 43

Une urne contient cent jetons numérotés de 1 à 100.
 
On en tire un.

Quelle est la probabilité pour que son numéro soit :

1) Divisible par 6 ? 2) divisible par 2 ?

3) Divisible par 6, sachant qu'il est divisible par 3 ?

4) divisible par 12 sachant qu'il est divisible par 2 ?

5) divisible par 12, sachant qu'il est divisible par 3    ?

Exercice 44 Chronologie

Je tire au hasard une boule dans l'une ci-contre.

Sans la regarder, je la mets dans ma poche.

Puis je fais un second tirage.

Je regarde la boule obtenue au second tirage : elle est noire.
 
Quelle est la probabilité que la boule qui est dans ma poche soit blanche ?

Exercice 45 Fille ou garçon

On suppose dans cet exercice l'équiprobabilité des deux sexes à la naissance d'un enfant.

1) Une famille a deux enfants dont une fille.

Quelle est probabilité que les deux enfants soient des filles ?

2) Une famille a deux enfants dont l'ainée est une fille.

Quelle est la probabilité que les les deux enfants soient des filles ? 

Exercice 46

Un établissement scolaire comporte $55\%$ de filles et $45\%$ de garçons.

$20\%$ des filles et $40\%$ des garçons utilisent un moyen de transport individuel pour se rendre à l'établissement.

1) Quel est le pourcentage des élèves de l'établissement utilisant un moyen de transport individuel ?

2) On aperçoit la silhouette d'un élève descendant d'un car.

Quelle est la probabilité pour que se soit :

a) une fille
 
b) un garçon
 
On donnera une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près

Exercice 47

On extrait huit cartes d'un jeu de trente-deux.

a) Quelle est la probabilité d'avoir le valet de pique sachant que l'on a l'as de pique ?

b) Quelle est la probabilité d'avoir le valet de pique sachant que l'on a quatre pique ?

Exercice 48

Une urne $\text{U}_{1}$ contient 2 boules noires et 1 boule blanche.
 
Une urne $\text{U}_{2}$ contient 3 boules noires et 6 boules blanches.

On tire une boule dans l'une des deux urnes.

On considère les événements :

$\text{A}_{1}$ : « le tirage se fait dans $\text{U}_{1}$ » ;

$\text{A}_{2}$ : « le tirage se fait dans $\text{U}_{2}$ » ;

B : « la boule tirée est blanche » ;

N : « la boule tirée est noire » ;

On suppose $P(\text{A}_{1})=\dfrac{1}{3}\text{ et }P(\text{A}_{2})=\dfrac{2}{3}.$

1) Calculer $P_{\text{A}_{1}}(\text{B})\;,\ P_{\text{A}_{1}}(\text{N})\;,\ P_{\text{A}_{2}}(\text{B})\;,\ P_{\text{A}_{2}}(\text{N})$

2) Calculer $P(\text{A}_{1}\cap \text{B})\;,\ P(\text{A}_{1}\cap \text{N})\;,\ P(\text{A}_{2}\cap \text{B})\;,\ P(\text{A}_{2}\cap \text{N}).$

3) Montrer que $\text{B}=(\text{A}_{1}\cap \text{B})\;\cup\;(\text{A}_{2}\cap \text{B}).$

En déduire la probabilité de B

4) Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu'elle provienne de $\text{U}_{2}$ ?

Exercice 49

Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires.
 
On extrait les  boules successivement, une par une, sans remise.

1) Calculer la probabilité pour que la première boule blanche sorte au $6^{e}$ tirage.

2) Sachant qu'aucune boule blanche n'est sortie à l'issue des 5 premiers tirages,quelle est la probabilité que la première boule blanche sorte au $6^{e}$ tirage ?

Exercice 50

Une urne $\text{U}_{1}$ contient 3 boules blanches et 4 boules noires.

Une urne $\text{U}_{2}$ contient 1 boule blanche et 2 boules noires.

On retire 2 boules au hasard de $\text{U}_{1}$ que l'on place dans $\text{U}_{2}$ puis on extrait 2 boules au hasard de $\text{U}_{2}$

1) On note A , B , C les événements :
 
A : « les boules extraites au $1^{er}$ tirage sont blanches » ;

C : « les boules extraites au $1^{er}$ tirage  sont l'une noire et l'autre blanche »

Calculer les probabilités de A , B et C

On note E l'événement : « le second tirage est bicolore ».
 
En remarquant que :

$\text{E}=(\text{A}\cap \text{E})\;\cup\;(\text{B}\cap \text{E})\;\cup\;(\text{C}\cap \text{E})$

calculer la probabilité de E.

Exercice 51

La population d'un lycée est formée de $42\%$ de garçons et $58%$ de filles.

Parmi les garçons, $15\%$ appartiennent au club informatique.

Parmi l filles , $6\%$ appartiennent au club informatique.

1) Quelle est la probabilité pour qu'un élève du lycée appartiennent au club informatique ?

2) Quelle est la probabilité pour qu'un élève appartenant au club informatique soit un garçon ?

Exercice 52 Inégalité sociale

Dans une lointaine planète, vivent des Verts et des Bleus :
 
$85\%$ des Bleus sont pauvres et $90\%$ des pauvres sont bleus.
 
Soit $p$ la proportion de bleus sur cette planète.
 
Déterminez $p$ pour que les événements « Obtenir un individu Bleu »  et « Obtenir un individu pauvre »  soient indépendants. 

Exercice 53 Pollution

Un milieu biologique risque d'être pollué par les bactéries ou par des champignons.

Ces deux sources de pollution sont indépendantes.

Un milieu pollué le reste définitivement.

Au cours d'une journée d'exposition, la probabilité d'être pollué par des champignons est $0.3.$

Déterminer en fonction de $n$ la probabilité d'avoir été pollué au cours de $n$ journées d'exposition.

Exercice 54 Détection de maladie

Une maladie atteint $7\%$ de la population.

On dispose d'un test biologique pour la détecter.
 
Ce teste donne les résultats suivants :

$-\ $ chez les biens portants, $4\%$ de réponses positives et $96\%$ de réponse négatives

$-\ $ chez les malades, $92\%$ de réponses positives et $8\%$ de réponses négatives.

On décide d'hospitaliser tous les individus positifs.

Déterminer le pourcentage de bien portants parmi les individus hospitalisés et le pourcentage d'individus malades parmi ceux qui ne sont pas hospitalisés.

Exercice 55 Maladie et traitement

$0.1\%$ d'une population est atteinte d'une maladie $X.$
 
On dispose pour cette maladie d'un dépistage et d'un traitement.
 
Le dépistage détecte $80\%$ des personnes atteintes, mais aussi désigne à tort $2\%$ des personnes saines.
 
Le traitement utilisé est mortel pour $1\%$ des personnes traitées à tort.
 
La maladie est mortelle pour $50\%$ des malades non traités et pour $10\%$ des gens atteints, dépistés et traités.

1) En l'absence de dépistage et de traitement, quelle est la probabilité pour un individu de mourir de la maladie $X$ ?

2) On décide de faire un dépistage systématique et un traitement pour toutes les personnes ainsi désignées.

Après dépistage et traitement, on tire un individu au sort dans la population.
 
En utilisant les événements M : « l'individu est malade » ,
 
P : « l'individu est dépisté comme atteint par la maladie traité » ,
 
D : « L'individu est décédé » et leurs contraires, traduisez en terme de probabilités les nombres donnés dans l'énoncé.

3) Quelle est la probabilité pour un individu de mourir de la maladie $X$ ou de son traitement ?

Exercice 56 Défauts de fabrication

Un appareil fabriqué en très grande série peut être défectueux à cause de deux défauts seulement, que l'on désigne par A et B.

Dans un lot de 10.000 appareils, on a constaté que :

1000 appareils présentaient le défaut A

800 appareils présentaient le défaut B

400 appareils présentaient à la fois les défauts A et B.

Un client achète un de ces appareils.

1) Complétez le diagramme suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Défaut}&\text{B}&\text{non B}&\text{Marge} \\ \hline\text{A}& & & \\ \hline\text{non A}& & & \\ \hline\text{Marge}& & & \\ \hline\end{array}$$

Exercice 57 Courte paille

Les données sont les mêmes que dans le tirage précédent mais cette fois-ci on ne remet pas la première paille tirée avant de prendre la deuxième.

1) Reprendre, dans cette nouvelle situation, les trois premières questions de la partie précédente.

2) Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
 
Le résultat paraît-il logique ?

Exercice 58 Paradoxe

Un lycée comprend deux terminales dont les résultats au bac sont donnés dans le tableau ci-dessous
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline& & &\text{Non}&\text{Non} \\&\text{Redoublants}&\text{Redoublants}&\text{redoublants}&\text{redoublants} \\&\text{Reçus}&\text{Non}&\text{Reçus}&\text{Non} \\& &\text{reçus}& &\text{reçus} \\ \hline\text{Terminale 1}&14&7&13&7 \\ \hline\text{Terminale 2}&10&3&21&7 \\ \hline\text{Lycée}& & & & \\ \hline\end{array}$$
Dire que les redoublants ont mieux réussi que les autres signifie que la probabilité d'avoir été reçu sachant qu'on est redoublant, , est plus grande que la probabilité d'avoir été reçu sachant qu'on est pas redoublant : $P(\text{Bac}/\overline{R}).$

Démontrer que dans la terminale I, les redoublants ont mieux réussi que les autres , qu'il en est de même pour la terminale II, mais que dans le lycée tout entier ce sont les non redoublants qui ont le mieux réussi.

Exercice 59 Roulette russe

1) Dans une variante de la roulette russe, le joueur choisit d'abord une arme au hasard parmi les deux revolvers disponibles puis presse une fois sur la détente.
 
Chaque arme est munie de six chambres.
 
On doit répartir trois balles dans les deux revolvers.
 
Y a-t-il une répartition qui optimise les chances de survie du joueur ?

2) Même question avec cette autre variante :

le joueur dispose de trois revolvers dans lesquels quatre balles ont été réparties.

Exercice 60

On tire une carte dans un jeu de 32 ; les événements « tirer une dame » et « tirer un cœur » sont-ils indépendants ?

Exercice 61

On lance un dé bleu et un dé rouge.

a) Les événements « le dé rouge affiche 5 » et « la somme des 2 dés est 8 » sont-ils indépendants ?

b) Les événements « le dé rouge affiche 5 » et « la somme des 2 dés est 8 » sont-ils indépendants ?

Exercice 62

Une usine fabrique des ampoules électriques ; $75\%$ sont conformes aux normes et $25\%$ non conformes.
 
Un contrôle qui n'est pas infaillible accepte $10\%$ des ampoules non conformes et $96\%$ des ampoules conformes.

Sachant qu'une ampoule est acceptée par le contrôle (événement A), quelle est la probabilité qu'elle soit conforme aux normes (événement B) ?

(On remarquera que $\text{A}=(\text{A}\cap \text{B})\;\cup\;(\text{A}\cap \overline{\text{B}})$,où $\overline{\text{B}}$ est l'événement contraire de B.)

Exercice 63

Une machine M est constituée de deux éléments A et B.
 
La défectuosité d'un seul élément suffit à mettre la machine hors service et on exclut toute autre éventualité de panne.
 
Les avaries éventuelles relatives aux événements A et B sont deux événements indépendants de probabilités respectives $a=0.1\text{ et }b=0.2.$

1) Calculer la probabilité pour que A et B soient hors service en même temps.

2) Calculer la probabilité pour que la machine soit hors service.

3) Calculer la probabilité pour que la machine fonctionne.

4) Si la machine est en panne, quelle est la probabilité d'avoir un seul élément hors service ?

Exercice 64

Une famille a $n$ enfants $(n\geq 2).$
 
On note respectivement A et B les événements « la famille a des enfants des deux sexes » et « la famille a au plus une fille ».

Répondre à la question : A et B sont-ils indépendants ? dans le cas $n=2$, puis dans le cas $n=3.$

Exercice 65

Deux urnes $\text{U}_{1}\text{ et }\text{U}_{2}$, l'une blanche et l'autre noire, contiennent respectivement trois boules noires et une boule blanche et trois boules blanches et une boule noire.

On tire alternativement une boule de chaque urne en commençant par l'urne $\text{U}_{1}$ blanche :
 
si la boule est de la couleur de l'urne on la remet dedans, sinon on la change d'urne.

1) On effectue un tirage dans l'urne $\text{U}_{1}$ et un tirage dans l'urne $\text{U}_{2}.$

a) Construire l'arbre pondéré correspondant à cette expérience aléatoire.

b) Donner la probabilité de chacune des configurations finales possibles.

2) Si l'on joue maintenant un certain nombre de fois, est-il possible que :

a) une urne soit vide ?

b) l'urne soit remplie de boules blanches ?

c) l'urne $\text{U}_{1}$ soit remplie de boules noires ?

3) On effectue maintenant quatre tirages.

a) Construire l'arbre pondéré de cette expérience aléatoire.

b) Donner la probabilité de chacune des configurations finales possibles.

4) Quelle est la probabilité qu'à l'issue des quatre tirages :

a) toutes les boules blanches soient dans $\text{U}_{1}$ ?

b) la composition des urnes n'ait pas changé ?

Schéma de Bernoulli

Exercice 66

On lance 10 fois de suite une pièce non truquée.
 
Quelle est la probabilité d'avoir 10 faces ?

Exercice 67

On lance trois fois de suite un dé non pipé.

Quelle est la probabilité d'avoir 3 nombres pairs ?

Exercice 68

On lance 5 fois de suite un dé non pipé.

Quelle est la probabilité d'avoir au moins un nombre pair ?

Exercice 69

Une urne contient $35\%$ de boules blanches.

On tire successivement avec remise 5 boules.

Déterminer la probabilité d'avoir 5 boules blanches.

Exercice 70

On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée.

Combien de fois doit-on lancer la pièce pour être sûr à $99\%$ d'obtenir « pile » au moins une fois (c'est-à-dire pour que la probabilité d'obtenir « pile » au moins une fois soit supérieure ou égale à 0.99) ?

Exercice 71

Un tireur vise une cible la probabilité d'atteindre la cible est $p$

1) Calculer la probabilité $P_{n}$ pour que, au bout de $n$ tirs, le tireur ait atteint la cible au moins une fois.
 
(On suppose que les tirages successifs sont indépendants).

2) Dans le cas où $p=0.4$ , déterminer le nombre minimal $n$ de tirs nécessaires pour que  $P_{n}$ dépasse 0.9.

Exercice 72

Une école élémentaire possède trois classes dans chacun des cinq niveaux (CP, CE1, CE2, CM1, CM2).
 
Chacune des quinze classes accueille vingt-cinq élèves.
 
Chaque année, les soixante-quinze élèves d'un niveau donné sont répartis au hasard dans les trois classes de ce niveau.
 
Oumou et Fatima entrent au Cours Préparatoire et sont admises chaque année dans la classe suivante.

1) Quelle est la probabilité pour qu'elles soient dans le même C.P ?

2) Quelle est la probabilité pour qu'elles restent ensemble pendant les cinq années de leur scolarité ?

Exercice 73

On dispose de dés cubiques dont les faces sont numérotés à 6.

1) Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité d'obtenir au moins une fois le « six » en quatre lancers successifs d'un dé.

2) On lance deux dés simultanément, $n$ fois de suite.

a) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le « double six »

b) Pour quelles valeurs de $n$ cette probabilité est-elle supérieure à $\dfrac{1}{2}$ ?

Exercice 74

On considère les deux signaux différents du morse (le point • et le trait ─ ).
 
On appelle séquence d'ordre $n$ l'émission de $n$ de ces signaux $(n\in \mathbb{N}).$

Par exemple • ─ ─ • est une séquence d'ordre 4.

1) a) Quel nombre de séquences d'ordre $n$

différentes peut-on ainsi émettre ?

b) Quelle valeur minimale faut-il attribuer à $n$ pour pouvoir coder en séquences d'ordre $n$ les vingt-six lettres de l'alphabet plus les dix chiffres ?

2) Un observateur décode un mot de six lettres avec une probabilité d'erreur sur chacune de ces lettres égale à $\dfrac{1}{10}$, et indépendante des erreurs qu'il peut commettre sur les autres lettres.

Calculer la probabilité pour qu'il commette :

a) trois erreurs exactement ;

b) au moins une erreur.

Exercice 75

Deux pour cent des habitants d'une ville sont atteints d'une maladie contagieuse.
 
Dans le cas de contact d'une personne saine avec une personne malade, la probabilité pour la personne saine d'être malade est $p=0.7.$

Un représentant (non malade) rend visite à trois personnes de cette ville.

1) Quelle est la probabilité pour que le représentant rencontre $n$ malades pour $n\in{0.1\;\ 2.3}$ ?

2) Quelle est la probabilité pour que le représentant soit contaminé ?

Exercice 76

Un dé parfait a six faces numérotées $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6.$ On le lance dix fois de suite.

A chaque jet, on note le nombre marqué sur la face supérieure du dé.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants (on donnera pour chaque résultat une valeur approchée à 0.001 près par défaut) :

A : « On obtient deux fois le nombre 6 et deux fois seulement ».

B : « On obtient au moins une fois le nombre 6 »

C : « On obtient un 6 pour la première fois au troisième jet ».

D : « On obtient un 6 au troisième jet (pour la première fois ou non) et un multiple de 3 au septième jet ».

Exercice 77

On sélectionne les candidats à un jeu télévisé en les faisant répondre à 10 questions.
 
Ils devront choisir pour chacune des questions, parmi 3 affirmations, celle qui est exacte.
 
Sont retenues les personnes qui donnent au moins 7 réponses exactes sur 10.

Se présente un candidat qui répond à toutes les questions au hasard :

1) Pour chaque question, quelle probabilité $p$ a-t-il de donner la bonne réponse ?

2) Donner la formule qui permet de calculer la probabilité $p_{k}$ qu'a ce candidat de trouver exactement $k$ bonnes réponses à ces 10 questions.

3) Calculer la probabilité qu'il a de donner :

a) uniquement des réponses fausses ,

b) uniquement des réponses exactes ,

c) au moins une réponse exacte.

4) Calculer la probabilité qu'a un tel candidat de fournir au moins 7 bonnes réponses aux 10 questions et d'être ainsi sélectionné.
 
On donne de ce résultat une valeur approchée à $10^{-2}$ près par excès.

Exercice 78

Au cours d'une expérience sur le comportement des animaux, des rats doivent choisir entre quatre portes d'apparence identique, dont l'une est dite « bonne » et les trois autres sont dites « mauvaises ».

Chaque fois qu'il choisit une mauvaise porte , le rat reçoit une décharge électrique désagréable et est ramené à son point de départ, et cela jusqu'à ce qu'il choisisse la bonne porte.

1) Le rat n'a aucune mémoire.

Il choisit à chaque essai de façon équiprobable entre les quatre portes.

Déterminer la probabilité des événements suivants :

a) le rat sort au bout de la troisième fois ;

b) le rat sort au bout de la septième fois ;

2) Le rat a une mémoire parfaite.

A chaque nouvel essai, il évite les mauvaises portes choisies précédemment et il choisit de façon équiprobable entre celles qu'il n'a pas encore essayées.
 
Soit $k$ le nombre d'essais effectués par le rat.

Déterminer les valeurs possibles de $k$, ainsi que les probabilités pour que le nombre d'essais soit égal à chacune de ces valeurs.

Exercice 79

On lance trois dés $\text{D}_{1}\;,\ \text{D}_{2}\text{ et }\text{D}_{3}$, cubiques équilibrés. Les faces de chacun d'eux sont numérotées $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\text{ et }6.$

1) Calculer les probabilités des événements suivants :

A : « les trois dés donnent 1 »

B : « les trois dés donnent le même résultat »

C : « deux dés seulement donnent 1 »

D : « deux dés donnent le même résultat et l'autre un résultat différent »

Pour chaque résultat, on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $10^{-3}$près.

2) On répète $n$ fois l'expérience et on note $P_{n}$ la probabilité d'obtenir au moins une fois trois résultats identiques sur les trois dés ($n$ est un entier naturel non nul).

Montrer que $P_{n}=1\left(\dfrac{35}{36}\right)^{n}.$
 
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P_{n}\geq 0.3.$

Exercice 80

Ismaïla possède un jeu électronique.
 
Une partie est un duel entre Ismaïla et un monstre choisi par la machine.
 
Deux choix équiprobables sont possibles :

La machine choisit soit le monstre $\text{M}_{1}$ soit le monstre $\text{M}_{2}.$

Les événements « Ismaïla choisit le monstre $\text{M}_{1}$ » et « Ismaïla choisit le monstre $\text{M}_{2}$ » ont la même probabilité $\dfrac{1}{2}.$

Les deux monstres sont de forces inégales et on admet que, si Ismaïla combat $\text{M}_{1}$, la probabilité pour qu'il gagne la partie est ; 3 si Ismaïla combat $\text{M}_{2}$, la probabilité pour qu'il gagne la partie est $\dfrac{1}{4}.$

1) Ismaïla joue une partie.
 
Soit $G$ l'événement : « Ismaïla gagne la partie ».

Calculer la probabilité des événements $\text{A}\cap \text{G}\text{ et }\text{B}\cap \text{G}.$

En déduire que la probabilité de $\text{G}\text{ est }\dfrac{7}{24}$
 
2) Ismaïla joue cinq parties. Quelle est la probabilité pour qu'il gagne exactement trois fois ?

Donner ce résultat à 0.01 près.

Variables aléatoires

Exercice 81

Une variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\text{ et }5$ avec les probabilités respectives $\dfrac{1}{3}\;,\ \dfrac{1}{4}\;,\ \dfrac{1}{6}\;,\text{ et }\dfrac{1}{12}.$

Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $X.$

2) Même question avec une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $1\;,\ 3\;,\ 5\text{ et }7$ avec les probabilités $\dfrac{1}{10}\;, \dfrac{1}{5}\;,\ \dfrac{2}{5}\text{ et }\dfrac{3}{10}.$

Exercice 82

Une variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\text{ et }5$ avec les probabilités respectives $\dfrac{1}{3}\;,\ \dfrac{1}{4}\;,\ \dfrac{1}{6}\;,\text{ et }\dfrac{1}{12}.$

1) Calculer :

$P(X\leq 2)\;,\ P(X\leq 4)\;,\ P(X\leq 1)\;,\ P(X\leq 5).$

2) Déterminer la fonction de répartition et la représenter graphiquement.

3) Calculer :
 
$P(X<4.5)\;,\ P(2\leq X\leq 4.5)\;,\ P(X<2).$

Exercice 83

Soit $X$ une variable aléatoire dont l'univers-image est $X(\Omega)={1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4}$ et telle que pour tout $k\in X(\Omega)\;,\ p(X=k)$ est proportionnelle à $k.$

1) a) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

b) Calculer $E(X)\text{ et }\sigma(X).$

2) Reprendre les mêmes questions qu'au 1) en supposant maintenant que $p(X=k)$ pour $k\in{1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4}$ est inversement proportionnel à $k.$

Exercice 84

On lance deux dés cubiques bien équilibrés.

Soit $S$ la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la somme des deux numéros sortis.

1) a) Déterminer la loi de probabilité de $S.$

b) Calculer $E(S).$

2) Reprendre les mêmes questions qu'au 1) en remplaçant la somme $S$ par le produit $P.$

3) Reprendre les mêmes questions qu'au 1) en remplaçant la somme $S\text{ par }D$, valeur absolue de la différence.

Exercice 85

Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires.
 
On extrait 4 boules au hasard simultanément.
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches extraites.

1) Définir la loi de $X.$

2) Tracer, sur un même graphique, le diagramme en bâtons et la courbe représentative de la fonction de répartition $F\text{ de }X.$

3) Calculer l'espérance et l'écart-type de $X.$

4) Reprendre les questions 1), 2), 3) pour la variable aléatoire $Y$ égale au nombre de boules noires sorties.

Exercice 86

Une urne contient 6 boules numérotées $1\;,\ 2\cdots 6.$ On extrait 3 boules au hasard simultanément.
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au plus petit des numéros tirés.

1) Définir la loi de $X.$

2) Calculer l'espérance et l'écart-type de $X.$

4) Reprendre les questions 1) et 2) pour la variable aléatoire $Y$ égale au plus grand des numéros tirés.

Exercice 87

Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires.
 
On les tire toutes, une à une, sans remise, au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée.

1) Définir la loi de $X.$

2) Tracer, sur un même graphique, le diagramme en bâtons et la courbe représentative de la fonction de répartition $F\text{ de }X.$

3) Calculer l'espérance et l'écart-type de $X.$

4) Reprendre les questions 1), 2), 3) pour la variable aléatoire $Y$ égale au rang de la seconde boule blanche tirée.

Exercice 88

Une urne contient 7 boules rouges et 3 boules blanches.

1) Quand on tire une boule au hasard, quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? une boule rouge ?

2) Une expérience aléatoire consiste en cinq tirages successifs d'une boule avec remise.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages d'une boule blanche.

a) Étudier la fonction de répartition de $X$ et tracer sa représentation graphique.

b) Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X.$

Exercice 89

Le sexe radio $S$ d'une espèce est le quotient du naissances d'un individu mâle par le nombre de naissances d'un individu femelle.

Pour chacun des cas $S=0.9\;,\ S=1\;,\ S=1.1$ , calculer les probabilités d'observer quatre naissances :

a) une seule naissance d'un individu mâle.

b) exactement deux naissances d'un individu mâle.

c) au moins une naissance d'un individu femelle.

d) Au plus deux naissances d'un individu femelle.

Exercice 90

Dans cet exercice, les différents tirages sont équiprobables.
 
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

un sac contient 4 jetons noirs et 4 jetons blancs; on tire quatre jetons du sac.

Soit le nombre de jeton noirs tirés et soit la variable aléatoire $X=2n-4.$

1) Dans une première expérience, on tire les quatre jetons simultanément ; déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance mathématique

1) Dans une seconde expérience, on tire les quatre jetons l'un après l'autre , avec remise ; déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance mathématique et son écart-type.

Exercice 91

On dispose de douze jetons indiscernables au toucher et portant respectivement les lettres, A , B , C , D , E , F , G , H , I , J , K , L.
 
On place au hasard ces douze jetons sur la grille ci-dessous :


 

1) a) Quelle est la probabilité de tirer le mot « AIDE » sur la deuxième ligne ?

b) Quelle est la probabilité de lire à la fois le mot « BAC » dans la première colonne et le mot « AIDE » dans la deuxième ligne ?

2) Maintenant, pour remplir les cases de la première ligne, on tire un jeton parmi les douze, on écrit la lettre dans la première case, on remet le jeton et on recommence l'expérience pour chacune des trois autres cases.

Soit $X$ le nombre de $A$ obtenus sur cette première ligne. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique.

Exercice 92

1) Étudier les variations et tracer succinctement la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^{4}-8x^{2}+8.$

2) Un ordinateur est programmé pour tirer un nombre au hasard, c'est-à-dire de telle façon que tous les tirages soient équiprobables, puis pour calculer la valeur prise par $f$ pour ce nombre.
 
Le nombre tiré est choisi dans l'ensemble A :

A=$\left\lbrace 0\;,\ 1\;,\ \sqrt{2}\;,\ 2\;,\ \sqrt{6}\;,\ \sqrt{7}\;,\ 2\sqrt{2}\;,\ 3\right\rbrace$, puis il est affecté au hasard du signe + ou ─ avant d'être transformé par $f.$ Les valeurs de $f(x)$ fournies par l'ordinateur sont les valeurs d'une variable aléatoire $Y.$

a) Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ?

b) Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?

c) Quelle est l'espérance mathématique de $Y$ ?

Exercice 93

Un test consiste à répondre à 5 questions par oui ou par non.
 
Chaque réponse juste est notée 4 points et chaque réponse fausse est notée -2 points.
 
Un candidat répond au hasard à chacune de ces questions, c'est-à- dire que la réponse « oui » et la réponse « non » ont la même probabilité.

Soient $X\text{ et }Y$ les variables aléatoires suivantes :

$X$ : nombre de réponses exactes ;

$Y$ : note obtenue, c'est-à-dire le plus grand des deux nombres 0 et $S$, $S$ désignant la somme des 5 notes obtenues par le candidat.

1) a) Donner la loi de probabilité de $X.$

Calculer son espérance mathématique et sa variance.

b) Calculer $p(X\geq 4).$

2) Donner les valeurs prises par $Y$ et déterminer sa loi de probabilité.
 
Calculer son espérance mathématique et sa variance.

Exercice 94

Un élève doit répondre à un QCM comportant dix questions.
 
A chaque question, trois réponses sont proposées dont une seule est correcte.

L'élève ne peut cocher, au plus, qu'une réponse.
 
A la correction, il est attribué un point par bonne réponse, zéro point en l'absence de réponse et 1 point par réponse erronée.

L'élève connaît la bonne réponse à cinq des dix questions.
 
Pour les cinq autres, il hésite entre ne pas répondre et répondre au hasard.

1) L'élève décide de ne pas répondre aux questions dont il ignore la réponse.

Quelle sera sa note ?

2) L'élève décide de répondre au hasard à chacune des questions dont il ignore la réponse.

a) Établir qu'on est en présence d'un schéma de Bernoulli.

b) On note $X$ la variable aléatoire indiquant la note de l'élève.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique $E(X).$

Exercice 95

On considère une urne contenant trois boules identiques numérotées $1\;,\ 2\text{ et }3.$
 
Trois tirages successifs avec remise sont effectués et l'on appelle $a\;,\ b\text{ et }c$ les trois numéros ainsi obtenus ; tous les tirages sont équiprobables.

1) Soit la variable aléatoire réelle égale à la somme $a+b$
 
Étudier loi de probabilité de $X.$

2) Soit $Y$ la variable aléatoire réelle égale à $2c.$

Calculer la probabilité de l'événement $X=Y.$

3) On considère la variable aléatoire $Z$ définie par :

Si $X=Y\;,\text{ alors }Z=-2$ ;

Si $X>Y\;,\text{ alors }Z=-1$ ;

Si $X<Y\;,\text{ alors }Z=+3.$

Donner la loi de probabilité de $Z.$
 
Quelle est l'espérance mathématique de $Z$ ?

Exercice 96

Un joueur dispose d'un dé à six faces :
 
trois sont blanches, deux sont vertes et une est rouge.
 
Lors du lancer du dé, chaque face a la même probabilité d'apparition.
 
le joueur lance le dé et observe la couleur de la face supérieure :

s'il observe une face rouge, il gagne 200 F ;

s'il observe une face verte, il perd 100 F ;

s'il observe une face blanche, il relance le dé et :

pour une face rouge, il gagne 300 F ;

pour une face verte, il perd 100 F ;

pour une face blanche, le jeu est arrêté sans gain ni perte.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique de ce joueur.

a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

c) Calculer l'espérance mathématique de $X.$

Exercice 97

Lors d'un concours d'équitation, un cavalier effectue un parcours de $1500\;m$ à la vitesse de $10\;km/h$ et franchit sur ce parcours six obstacles indépendants les uns des autres.

Pour ce cavalier, la probabilité de franchir « sans faute » un obstacle est $\dfrac{2}{3}.$

Le passage sans faute d'un obstacle ne ralentit pas le cavalier, tandis qu'un passage avec faute lui fait perdre une minute.

Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre d'obstacles franchis sans faute.

Quelle est la nature de la loi de probabilité de $X$ ?

Calculer l'espérance mathématique de $X.$

En déduire la durée moyenne du parcours.

2) Ce cavalier doit ensuite effectuer à cheval deux sauts indépendants l'un de l'autre.
 
Pour chaque saut, il lui est attribué $0\;,\ 2\text{ ou }5$ points.

La probabilité d'avoir cinq points est $\dfrac{2}{3}$, celle d'avoir deux points est $\dfrac{1}{6}$, celle d'avoir zéro point est $\dfrac{1}{6}.$

On considère la variable aléatoire qui, aux deux sauts effectués, associe le nombre de points totalisés.

Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ?

Déterminer la loi de probabilité de $Y.$

En déduire la probabilité de l'événement $(Y\geq 5).$

Exercice 98

Un jardinier décide de planter des graines de salade.
 
Le pouvoir germinatif de chaque graine est 0.8.

1) Il sème huit graines.
 
Quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité pour que :

a) cinq graines exactement germent ?

b) au moins sept graines germent ?

2) Quand une graine a germé, la probabilité pour que les vers détruisent le jeune plant est 0.5.

a) Calculer la probabilité pour qu'une graine semée donne un plant bon à repiquer.

b) Combien faut-il semer de graines pour que la probabilité d'avoir au moins un plant à repiquer soit supérieure à 0.99 ?

Exercice 99

Dans un club de tir à l'arc, on teste trois archers A , B , C en leur faisant effectuer 5 tirs sur la cible représentée ci-dessous.

La marque est donnée selon la règle suivante :
 
3 points pour la zone E, 2 pour F, 1 pour G et 0 pour H (en dehors de la cible).


 

 

Les résultats des 50 tirs sont consignés dans le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&0&1&2&3 \\ \hline A&7&12&15&16 \\ \hline B&4&10&20&16 \\ \hline C&3&13&25&9 \\ \hline \end{array}$$

On note $X\;,\ Y\text{ et }Z$ les variables aléatoires respectivement égales à la marque de A, à celle de B et à celle de C.

1) Définir à partir du tableau les lois de $X\;,\ Y\;,\ Z.$

2) Calculer l'espérance et l'écart-type de chacune de ces variables.

3) Si A , B , C étaient en concurrence pour deux places de titulaires dans l'équipe du club, Qui choisiriez-vous et pourquoi ?

Exercice 100

I  En notant $P(\text{A}/\text{B})$ la probabilité de l'événement A sachant $\text{B}\;,\text{ et }\overline{\text{B}}$ l'événement contraire de B, démontrer que :

$P(\text{A}/\overline{\text{B}})=\dfrac{P(\text{A})-P(\text{A}/\text{B})\times P(\text{B})}{1-P(\text{B})}$

On remarquera que $\text{A}=(\text{A}\cap \text{B})\;\cup\;(\text{A}\cap \overline{\text{B}}).$

II $Application$
 
Une ville du Sénégal étant depuis quelque temps infestée par les chiens errants, les autorités municipales décident d'autoriser leur abattage par les services communaux pendant une période de 3 mois.

On a pu établir les statistiques suivantes :

$30\%$ des chiens errants sont enragés ; parmi les chiens errants abattus, $40\%$ étaient enragés.

1) En désignant par $b(b\neq 1)$, la probabilité pour qu'un chien errait abattu lors de période de 3 mois, calculer en fonction de la probabilité pour qu'un chien survivant soit enragé.

(Indication : dans la population des chiens errants, on pourra désigner par A l'ensemble des chiens enragés et par B l'ensemble des chiens abattus au cours de la période considérée. De plus, durant cette période, on négligera les autres causes de décès ainsi que les nouveaux cas de rage.)

2) Quelle est la plus petite valeur de $b$ pour laquelle $p$ est inférieur ou égal à 0.1 ?

A l'issue de la période de 3 mois, la probabilité pour qu'un quartier de la ville soit décontaminé de la rage est de $\dfrac{1}{3}.$
 
La ville comporte 10 quartiers.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de territoires décontaminés après la saison de chasse.

Quelle est, dans les conditions précédentes, et en supposant que les résultats sont indépendants d'un quartier à l'autre, la probabilité d'avoir décontaminé au moins 8 quartiers sur les 10 à l'issue de la période d'abattage ?

Exercice 101

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, dont 4 sont blanches, 3 bleues et 3 rouges.
 
On tire au hasard trois fois de suite trois boules, les boules n'étant pas remises dans l'urne.
 
Pour $i\in {1\;,\ 2\;,\ 3}$, on considère l'événement T : « le i ème tirage est tricolore, autrement dit donne une boule blanche, une boule bleue et une boule rouge ».

On désigne d'autre part  l'événement R : « la boule qui reste dans l'urne après les trois tirages est blanche ».
 
On admettra que la probabilité de l'événement R est $\dfrac{4}{10}.$

1) Calculer la probabilité de l'événement $\text{T}_{1}$ puis la probabilité de $\text{T}_{2}$ sachant que $\text{T}_{1}$ est réalisé.

En déduire la probabilité de $\text{T}_{1}\cap \text{T}_{2}.$

Calculer de même la probabilité de l'événement $\text{T}_{1}\cap \text{T}_{2}\cap \text{T}_{3}.$

2) Quelle est la relation entre les événements $\text{T}_{1}\cap \text{T}_{2}\cap \text{T}_{3}\text{ et }\text{R}$ ?
 
Calculer la probabilité pour que les trois tirages aient été tricolores sachant que $R$ est réalisé.

N.B :

$On\ donnera\ les\ résultats\ d’abord\ sous\ forme\ de\ fraction\ irréductible\;,\ ouis\ sous\ forme\ de\ valeur\ approchée\ par\ défaut\ à\ 10^{-2}\ près$

Exercice 102

On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et une pièce dont on distingue les côtés pile (P) et face (F).

A chaque lancer, on associe le nombre complexe $z=\rho\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{n\pi}{6}}$ défini de la manière suivante :

$\rho=1$ si face (F) apparaît sur la pièce ;

$\rho=2$ si pile (P) apparaît sur la pièce ;

$n$ est l'entier lu sur la face supérieure du dé.

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct (unité : $2\;cm$).
 
On note M le point d'affixe $Z\text{ et }Y$ son ordonnée.

1) La pièce et le dé ne sont pas truqués.

a) Déterminer l'ensemble des points M que l'on peut obtenir et placer ces points dans le plan $\mathcal{P}.$

(Les points obtenus sont notés $A_{n}\text{ pour }\rho=1\text{ et pour }\rho=2\;,\ n$ étant l'entier lu sur le dé.

b) Quelle est la probabilité de l'événement $Y=1$ ?

2) On conserve le dé non truqué mais la pièce est pipée de telle manière que la probabilité d'obtenir face (F) soit le double de celle d'obtenir pile (P).

a) Calculer la probabilité des événements $\rho=1\text{ et }\rho=2.$

b) Montrer que la probabilité d'obtenir $Y=1\text{ est }\dfrac{2}{9}.$

c) On répète trois fois l'épreuve, les répétitions étant indépendantes.
 
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un point $M$ tel que $Y=1$ ?

Exercice 103

On considère un dé cubique dont les six faces sont numérotées $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6.$
 
Ce dé est pipé.

1) Lorsqu'on lance un dé une fois,

Déterminer la probabilité d'apparition de la face numérotée sachant que :

$p_{1}=p_{3}=p_{5}$

$p_{2}=p_{4}=p_{6}$

$p_{2}=3p_{1}$

2) On lance le dé cinq fois de suite et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de résultats pairs obtenus.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.

3) On lance le dé $n$ fois de suite.

Calculer la probabilité $q_{n}$ de l'événement :

« on obtient au moins une fois un résultat pair ».

Pour quelles valeurs de $n\text{ a-t-on }q_{n}>0.999$ ?

Exercice 104

Sur un dé cubique, l'une des faces est numérotée 1, $n$ faces sont numérotées 2 et les faces restantes sont numérotées 3.
 
Les faces d'un second dé cubique sont numérotées $1\;,\ 2\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\text{ et }4.$

Les deux dés sont lancés simultanément et leurs faces ont la même probabilité de sortir en position supérieure.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque lancer associe la somme des points marqués sur les faces supérieures.

1) Déterminer $n$ pour que la probabilité de l'événement $(X=6)$ soit égale à $\dfrac{7}{36}.$

2) On choisit maintenant $n=2.$
 
Donner la loi de probabilité de $X.$

3) On lance les deux dés précédents quatre fois.
 
Calculer la probabilité de l'événement : « $(X=3)$ est réalisé trois fois ».

4) On lance maintenant les deux dés $k$ fois.

Calculer la probabilité de l'événement  « $(X=3)$ est réalisé $k$ fois ».

Déterminer la plus petite valeur de $k$ pour Avoir $q_{k}\leq 0.01.$

Exercice 105

Un lot de bulbes de fleurs a un pouvoir germinatif de $80\%$.
 
(Cela veut dire chaque bulbe produit une fleur avec un probabilité de $\dfrac{8}{10}$, et ceci indépendamment des autres bulbes).

Chaque bulbe contient l'un des trois gènes r (rouges), b (blanc), j (jaune), qui détermine la couleur de la future fleur éventuelle.
 
On suppose que la probabilité pour qu'un bulbe donné possède le gène r, b, j est respectivement $\dfrac{5}{10}\;,\ \dfrac{1}{10}\;,\ \dfrac{4}{10}$, et ceci indépendamment des autres bulbes.

On suppose en outre que le pouvoir germinatif est indépendant de la nature des gènes.

1) Quelle est la probabilité d'obtenir cinq fleurs en plantant cinq bulbes ?

2) a) Quelle est la probabilité pour qu'un bulbe produise une fleur rouge ?

b) On plante cinq bulbes et on appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fleurs rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$, et calculer son espérance mathématique $E(X).$

3) a) Quelle est la probabilité pour qu'un bulbe planté produise une fleur blanche ?

b) Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1.

On désigne par $p_{n}$ la probabilité de n'obtenir aucune fleur blanche après avoir planté $n$ bulbes.
 
Calculer $p_{n}$
 
c) Combien de bulbes faut-il planter au minimum pour obtenir au moins une fleur blanche avec une probabilité $\geq\dfrac{19}{20}$ ?

Exercice 106

Un test d'aptitude consiste à poser à chaque candidat une série de dix questions indépendantes pour chacune desquelles trois réponses sont proposées dont une et une seule est correcte.

Un candidat répond chaque fois au hasard (on suppose donc l'équiprobabilité des réponses).

1) Quelle est la probabilité pour qu'il donne la bonne réponse :

a) à la première question posée ?

b) à une des questions posées (et à une seule) ?

c) à quatre questions sur six ?

d) aux six questions ?

2) Le candidat sera reconnu apte s'il donne au moins quatre réponses correctes.
 
Quelle probabilité a-t-il d'être reçu au test ?

3) Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat.
 
Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X.$

Applications du calcul des probabilités

Exercice 107

Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A , B , AB , O.

Indépendamment du groupe, le sang peut posséder ou non le facteur Rhésus.
 
Quand le sang possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif (noté Rh+) ; sinon, il est dit de Rhésus négatif (noté Rh-).

Dans une population, les groupes sanguins se répartissent comme suit :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&AB&O \\ \hline 40\%&10\%&5\%&45\% \\ \hline \end{array}$$
Pour chaque groupe sanguin, les proportions d'individus possédant ou non le facteur Rhésus sont les suivantes :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\text{Groupe}&A&B&AB&O \\ \hline Rh^{+}&82\%&81\%&83\%&80\% \\ \hline Rh^{-}&18\%&19\%&17\%&20\% \\ \hline\end{array}$$
Un individu ayant un sang du groupe O et Rh- est appelé un donneur universel.

1) a) Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population ait un sang du groupe O ?

b) Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population soit un donneur universel ?

c) Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population ait un sang de Rhésus Rh- ?

2) Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard parmi ceux de facteur Rh-, ne soit pas du groupe O ?

3) Dix personnes, prises au hasard dans la population, donnent leur sang.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de personnes appartenant au groupe A ; calculer $P(X=4).$

3) Pour une intervention chirurgicale, on doit avoir au moins trois donneurs universels.

Dix personnes, ignorant leur groupe sanguin, sont disposées à ce don.

Calculer la probabilité d'avoir au moins les trois donneurs nécessaires parmi les dix volontaires.

Exercice 108

Cet exercice porte sur une application du calcul des probabilités à la biologie.
 
Il ne présuppose aucune connaissance spécifique de biologie.

On veut fabriquer un ARN de synthèse en utilisant un mélange composé de $40\%$ d'adénine (notée A dans ce qui suit), de $20\%$ d'uracile (notée U), de $20\%$ de guanine (notée G) et de $20\%$ de cytosine (notée C).

L'adénine, l'uracile, la guanine et la cytosine s'organisent de façon aléatoire en chaînes de codons désignés par des triplets :
 
ainsi (G , A , U) désigne le codon incorporant dans cet ordre la guanine, l'adénine et l'uracile.

On suppose que lors de la synthèse :

la probabilité de l'incorporation d'un nucléotide A , U , G , C dans un codon est donnée par le pourcentage de ce nucléotide dans le mélange ; ces incorporations de nucléotides sont des événements indépendants.

1) Vérifier que la probabilité d'obtenir le codon (A , C , A) est 0.032.
 
Quelle est la probabilité d'obtenir la chaîne ordonnée suivante de codons :

(A, C, A), (G, A, A), (A, A, U), (A, A, G),

(C, A, A), (A, U, A), (A, G, A), (A, A, C),

(U, A, A) dans laquelle les codons apparaissent de façon indépendante ?

2) Dénombrer successivement :

a) les codons contenant trois éléments d'adénine ;

b) les codons contenant deux éléments d'adénine ;

c) les codons contenant un élément d'adénine ;

d) les codons ne contenant aucun élément d'adénine.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux éléments et seulement deux éléments d'adénine ?

3) On considère l'aléa numérique $(\ast)X$ défini par :

$X=$« nombre d'éléments d'adénine d'un codon ».

Déterminer la loi de probabilité de $X.$

Exercice 109

L'exercice porte sur une application du calcul des probabilités à l'étude de la mucoviscidose, maladie héréditaire récessive.
 
On admettra ici que la mucoviscidose se caractérise par la présence d'un allèle $m$ au lieu de l'allèle $M$ les personnes atteintes étant de génotype $mm$

On dispose des données statistiques suivantes :

un individu sur 2000 est atteint de mucoviscidose, c'est-à-dire est de génotype $mm$ un individu sur 25 est hétérozygote, c'est-à-dire est de génotype $mM\text{ ou }Mm$ ; la maladie frappe indifféremment les personnes des deux sexes.

Une personne, appelée A dans ce qui suit, est reconnu comme étant hétérozygote.

1) On admet que, dans la perspective de l'étude de la maladie, le choix d'un conjoint par une personne est équivalent au tirage au hasard d'un individu parmi les représentants du sexe opposé.

Quelles sont les probabilité pour que A ait un conjoint de génotype $mm$ de génotype $mM\text{ ou }Mm$ de génotype $MM$ ?

2) Conformément aux lois statistiques de l'hérédité, on admet que le génotype d'un enfant, relativement à la maladie, est déterminé par les tirages au hasard et indépendants d'un allèle $m\text{ ou }M$ de son père et d'un allèle $m\text{ ou }M$ de sa mère, les tirages de $m\text{ et }M$ étant équiprobables.

Déterminer quels sont les génotypes possibles des enfants de A et indiquer les probabilités respectives de ces génotypes lorsque :

a) le conjoint est hétérozygote :

b) le conjoint est de génotype $MM$ ;

c) le conjoint est de génotype $mm$

3) On ne connaît pas le génotype du conjoint de A.

Utiliser les questions 1) et 2) et les probabilités conditionnelles pour calculer la probabilité qu'un enfant de A soit hétérozygote.

Exercice 110

L'objet du problème est une application du calcul des probabilités à la génétique, une première question est consacrée à une étude de suites qui interviennent dans cette application.

I Soit $\alpha$ un nombre réel non nul différent de 1.

On considère les suites $(a_{n}\in\mathbb{N}\text{ et }n\in\mathbb{N}$ définies par :

$a_{0}=0\;,\ b_{0}=1$

$a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{1-a}{2}\text{ et }b_{n+1}=ab_{n}.$ pour tout entier naturel $n.$

1) Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$ et de $\alpha$ pour tout entier naturel $n.$

2) En déduire la valeur de $a_{n+1}-a_{n}$ et montrer que
$$a_{n}=\dfrac{1}{2}(1-a^{n})$$ pour tout entier naturel $n.$

II Étant donné un gène possédant un couple d'allèles $A\text{ et }a$, on dit qu'elle plante est homozygote lorsqu'elle contient les deux mêmes allèles sur une paire de chromosomes  homologues :
 
elle est alors de génotype $AA\text{ ou }aa$ une plante est hétérozygote lorsqu'elle est de génotype $Aa$.

Certains plantes, par exemple le lupin, se reproduisent par autogamie ou (auto fécondation) :
 
tout se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de même génotype, chaque chromosome d'une paire étant sélectionnée au hasard.

1) Calculer les probabilités pour qu'une plante de génotype $AA\;,\text{ ou }Aa\text{ ou }aa$.
 
On présentera les résultats sous forme de tableau.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{descendant}\backslash\text{initiale}&AA&Aa&aa \\ \hline AA& & & \\ \hline Aa& & & \\ \hline aa& & & \\ \hline\end{array}$$
$$\text{Tableau : génotype de la plante}$$
Ainsi à l'intersection de la colonne $Aa$ et de la ligne $aa$, on fera figurer la probabilité pour qu'une plante de génotype $Aa$ donne par autogamie une plante de génotype $aa.$

2) Partant d'une plante hétérozygote (génération 0),on constitue par autogamie des générations successives.
 
On note : $AA_{n}$ l'événement « la plante de la n-ième génération est de génotype $AA$ »

$Aa_{n}$ l'événement « la plante de la n-ième génération est de génotype $Aa$ »

$aa_{n}$ l'événement « la plante de la n-ième génération est de génotype $aa$ »

On appelle $x_{n}$la probabilité de $AA_{n}\;,y_{n}$ la probabilité de $Aa_{n}\text{ et }z_{n}$ la probabilité de $aa_{n}$ :

en particulier $x_{0}=0\;,\ y_{0}=1\text{ et }z_{0}=0$

a) Calculer $x_{1}\;,\ y_{1}\text{ et }z_{1}$

b) Expliciter les probabilités conditionnelles :
$$\text{U}_{n+1}\text{ de }AA_{n+1}\text{ sachant que }AA_{n}$$ ;

$$\text{V}_{n+1}\text{ de }AA_{n+1}\text{ sachant que }Aa_{n}$$ ;

$$\text{W}_{n+1}\text{ de }Aa_{n+1}\text{ sachant que }AA_{n}$$ ;

c) Utiliser ces probabilités conditionnelles pour montrer que :
$$x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{4}y_{n}\text{ et }y_{n+1}=\dfrac{1}{2}y_{n}$$

pour tout entier naturel $n$

d) Utiliser les résultats de la partie I pour donner les valeurs de $x_{n}\text{ et de }y_{n}\text{ puis de }z_{n}$ en fonction de $n$ (indication :
 
que peut-on dire de $x_{n}+y_{n}+z_{n}$ ?).

3) On garde les hypothèses et notations du 2).
 
Calculer la probabilité $p_{n}$ pour qu'une plante de la n-ième génération ne soit pas homozygote.

A partir de quelle génération caractérisée par son numéro d'ordre $n$ a-t- on $p_{n}\leq 0.01$ ?

Exercice 111

Un gène récessif , noté $g$, détermine la marque de l'albinisme.

On note $G$ le gène dominant opposé.

Tout individu est muni de chromosomes porteurs :

ou bien de 2 gènes $g\text{ et }g$ (on note dans ce cas $gg$ : l'individu est albinos).

ou bien de 2 gènes $G\text{ et }G$ (on note dans ce cas $GG$ : l'individu n'est pas albinos).

ou bien d'un gène $G$ et d'un gène $g$ (on note dans ce cas $Gg\text{ ou }gG$ qui lui est identique ; l'individu non albinos est hybride, donc peut transmettre la marque d'albinisme).

Les gènes $g\text{ et }G$ ont, dans une population donnée, les distributions de probabilités respectives $p\text{ et }q=1-p.$
 
Les deux parents transmettent, au hasard et de façon indépendante, l'un de leurs deux gènes à leur descendance.

On admettra ainsi que la nature du chromosome d'un enfant, relativement à l'albinisme, est équivalente à celle que donnerait un tirage, avec remise, de 2 gènes parmi les 2 gènes $g\text{ et }G.$

1) Quelle est, en fonction de $p$, la probabilité du caractère albinos $gg$ ?

2) De la même façon, déterminer les probabilités respectives des caractères $GG\text{ et }Gg.$

3) Si l'on observe dans une population un albinos pour 20 000 individus.

Quelle est la probabilité pour qu'un individu choisi au hasard dans la population soit susceptible de transmettre l'albinisme ?

(On arrondira à la troisième décimale.)

Les probabilités du baccalauréat

Exercice 112 (1999, $1^{er}$ groupe)

Une boite contiens 5 jetons :
 
2 jetons noirs et 3 jetons blancs, indiscernables au toucher.

1) On extrait simultanément au hasard 2 jetons de la boîte

a) Calculer la probabilité des événements suivants :

E= « On extrait 2 jetons noirs »

F= « On extrait 2 jetons de même couleur »

b) On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jetons noirs obtenus.

Définir la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.

2) On effectue un tirage successif de 2 jetons de la boîte ; de la manière suivante :

on tire un jeton de la boîte ; on note sa couleur et on le remet dans la boîte en ajoutant en plus dans la boîte un autre jeton de la couleur que celui qu'on a tiré ; on tire ensuite un second jeton de la boîte, on considère les événements suivants :

$\text{N}_{1}$= « on obtient un jeton noir au premier tirage ».

$\text{N}_{2}$= « on obtient un jeton noir au second tirage ».

$B_{1}$= « on obtient un jeton blanc au premier tirage ».

a) Calculer la probabilité de $\text{N}_{2}$ sachant $\text{N}_{1}\ :\ \text{p}(\text{N}_{2}/\text{N}_{1})$,
 
puis la probabilité de $\text{N}_{2}$ sachant $\text{B}_{1}\ :\ \text{p}(\text{N}_{2}/\text{B}_{1})$

b) En déduire $\text{p}(\text{N}_{2}).$

Exercice 113 (1999, $2^{ième}$ groupe)

On dispose de deux $\text{U}_{1}\text{ et }\text{U}_{2}.$
 
L'urne $\text{U}_{1}$ contient 3 boules noires et 1 blanche.

L'urne $\text{U}_{2}$ contient 1 boules noires et 2 blanches.

On jette un dé cubique, parfaitement équilibré.
 
Si le dé donne 6, on tire au hasard une boule de l'urne $\text{U}_{2}$ , sinon on tire au hasard une boule de l'urne $\text{U}_{1}.$

On désigne par :

S l'événement : « on obtient 6 avec le dé ».

N l'événement : « on tire une boule noire ».

1) Calculer les probabilités des événements

$\text{S}\cap\text{N}\text{ et }\overline{\text{S}}\cap\text{N}.$

2) Calculer la probabilité de tirer une boule noire.

3) Calculer la probabilité d'avoir obtenu 6 avec le dé, sachant que l'on a tiré une boule blanche.

Exercice 114 (2000, $1^{er}$ groupe)

Une urne contient 6 jetons numérotés de 1 à 6.
 
Lorsqu'on tire au hasard un jeton de l'urne , on note $p_{i}\in{1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6}$ la probabilité de tirer le jeton numéroté $i.$
 
On suppose que les nombres $p_{1}\;,\ p_{2}\;,\ p_{3}\;,\ p_{4}\;,\ p_{5}\;,\ p_{6}$, sont dans cet ordre en progression arithmétique de raison $\dfrac{1}{30}.$

1) a) Montrer que $p_{1}=\dfrac{1}{12}.$

b) En déduire $p_{2}\;,\ p_{3}\;,\ p_{4}\;,\ p_{5}\;,\ p_{6}.$

2) On tire trois fois de suite et avec remise un jeton de cette urne, on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jetons portant un numéro pair.

a) Déterminer la loi de la probabilité de $X.$

b) Déterminer l'espérance mathématique de $X$ puis son écart-type.

3) Un joueur tire simultanément 2 jetons et note $S$ la valeur absolue de la différence des numéros que portent les 2 jetons tirés.

a) Déterminer la loi de probabilité de $S.$
 
b) On gagne à ce jeu lorsque $S\geq 4.$

Déterminer la probabilité de gagner.

Exercice 115 (2001, $1^{er}$ groupe)

Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10.
 
Une partie consiste à tirer successivement et sans remise 2 jetons de l'urne et à noter dans l'ordre les deux nombres inscrits.
 
Tous les tirages sont supposés équiprobables.

1) Quelle est la probabilité des événements :

A= « les deux nombres inscrits sont strictement inférieurs à 5 »

B= « le premier nombre inscrit est strictement supérieur au double du second ».

2) Un joueur effectue 7 parties successives, les parties étant supposées indépendantes ;

Quelle est la probabilité pour qu'à l'issue de la $7^{ième}$ partie l'événement B soit réalisé 2 fois exactement ?au moins une fois ?

Exercice 116 (2003, $1^{er}$ groupe)

Dans un pays donné, la maladie du Sida touche cinq pour mille de sa population.
 
Des études statistiques montrent que la probabilité pour un individu d'avoir un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est 0.8 et celle d'avoir un test négatif sachant qu'il n'est pas atteint par la maladie est 0.9.

On note T l'événement « avoir un test positif à cette maladie » ,
 
M l'événement « être malade », $\overline{\text{M}}$ l'événement contraire de M.

On rappelle que pour tous événements A et B on a :

$(\ast)\text{A}=(\text{A}\cap \text{B})\;\cup\;(\text{A}\cap\overline{\text{B}})\text{ et }P_{\text{A}}(\text{B})$ désigne la probabilité de B sachant A.

1) a) Réécrire la relation $(\ast)\text{ pour }\text{A}=\text{T}\text{ et }\text{B}=\text{M}\text{ puis pour }\text{A}=\overline{\text{M}}\text{ et }\text{B}=\overline{\text{T}}.$

b) En déduire que $\text{P}(\text{M}\cap \text{T})=\text{P}(\overline{\text{M}})\left[1-\text{P} _{\overline{\text{M}}}(\overline{\text{T}})\right].$

2) Calculer la probabilité pour qu'un individu ait un test positif à cette maladie.

3) a) Calculer la probabilité pour qu'un individu soit malade sachant qu'il a un test positif à cette maladie.

b) Calculer la probabilité pour qu'un individu soit malade sachant qu'il a un test négatif à cette maladie.

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Commentaires

Ajoutez le corrigé des exos svp

Très bonne plateforme

Très bonne plateforme

Je trouve que la plateforme est très très bonne.

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