Série d'exercices : limite et continuité 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ dans chacun des cas suivants :
 
a) $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x-7}{2x^{2}-6}$
 
b) $f(x)=\dfrac{2x-7}{3x^{2}-3x+1}$
 
c) $f(x)=x+\sqrt{x^{2}-2x}$
 
d) $f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-1}$
 
e) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x}$
 
f) $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{|x|}}{3x+2}$
 
g) $f(x)=x^{4}+2^{3}-1$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes (si elles existent):
 
a) $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^{2}+2x-3}{3x^{2}-1}$
 
b) $\lim_{x\rightarrow 5}\left(\dfrac{1}{x-5}+2x+8\right)$
 
c) $\lim_{x\rightarrow \frac{2}{3}}\dfrac{3x+5}{3x-2}$
 
d) $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^{2}+2x-3}{3x^{2}-2x-1}$
 
e) $\lim_{x\rightarrow 9}\dfrac{x-9}{\sqrt{x}-3}$
 
f) $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}+1}$
 
g) $\lim_{x\rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+6}-3}$
 
h) $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-x+1}}{2x-\sqrt{4x^{2}+2}}$
 
i) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-3x+1}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}$
 
j) $\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{3}-8}{x-2}$
 
k) $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{3x+4}}{\sqrt{x+1}-1}$
 
l) $\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{|x^{2}-6x+5|}$
 
m) $\lim_{x\rightarrow 5}\sqrt{|x^{2}-6x+5|}$
 
n) $\lim_{x\rightarrow 1}(2x+\mathbb{E}(x))$

Exercice 3

Dans chacun des cas, déterminer la limite de $f$ en $0$:
 
a) $f(x)=\dfrac{\sin5x}{x}$
 
b) $f(x)=\dfrac{\sin5x}{\sin3x}$
 
c) $f(x)=\dfrac{\sin\;x}{\sqrt{x}}$
 
d) $f(x)=\dfrac{\sin^{3}x}{x^{2}}$
 
e) $f(x)=\dfrac{\sin\;x+\tan\;x}{x}$
 
f) $f(x)=\dfrac{x+\sin\;x}{x^{2}+x}$
 
g) $f(x)=\dfrac{\sin5x}{\tan7x}$

Exercice 4

1) Démontrer que $\forall\;x\;\in\;[1\;;+\infty[\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{x}{x+1}\leq 1.$
 
En déduire $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\sqrt{x}}{x+1}$ et $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x}(x+1)}$
 
2) Démontrer que $\forall\;x\;\in\;\mathbb{R}\;,\;|\cos\;x+\sin\;x|\leq2.$ 
 
En déduire $\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{\cos\;x+\sin\;x}{x^{2}}$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\cos\;x+\sin\;x}{x^{2}}$

Exercice 5

Utiliser les propriétés pour calculer les limites suivantes :
 
a) $\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\dfrac{1}{x}$
 
b) $\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\cos\dfrac{1}{x}$
 
c) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\cos\;x}{x^{2}+1}$
 
d) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x+\sin\;x}$
 
e) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+\cos\;x}{3+\sin\;x}$
 
f) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\mathbb{E}(x)}{x}$

Exercice 6

1) Démontrer que $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos\;x}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}$
 
2)En déduire la limite en $0$ de chacune des fonctions suivantes:
 
$f(x)=\dfrac{x^{3}}{1-\cos\;x}$
 
$g(x)=\dfrac{\sin^{2}x}{1-\cos\;x}$
 
$h(x)=\dfrac{\cos^{2}x-1}{x\tan\;x}$
 
$i(x)=\dfrac{\sqrt{1-\cos\;x}}{\sin\;x}$

Exercice 7

Dans chacun des cas déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}:$
 
a) $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{x^{2}-x}{x}\quad  \text{si }\;  x\neq 0  \\ \\ f(0) &=& a\end{array}\right.$$
 
b) $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}-x+1}-x}{x-1}\quad  \text{si }\;x\neq1  \\ \\ f(1) &=& a\end{array}\right.$$
 
c) $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{x+1}{2x-3}\quad \text{si }\; x\leq 0  \\ \\ f(x) &=& x^{2}+x+a\quad \text{si }\; x>0\end{array}\right.$$

Exercice 8

1) Soit $f$ la fonction par :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& \dfrac{x^{2}-x-6+|x-3|}{x^{2}-9}\quad \text{ si }\; x\neq 3  \\ \\ f(3) &=& a \end{array}\right.$$
 
a) Déterminer le domaine de définition de la fonction $f.$
 
b) Déterminer la limite à gauche et à droite de 3.
 
c) Existent-ils des valeurs de $a$ pour lesquelles $f$ est continue ?
 
2) Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{x^{2}-9}{|x|-3}.$
 
$g$ est-elle prolongeable par continuité en 3 ? en -3 ? Si oui, donner son prolongement par continuité.
 
3) Étudier la continuité en -1 de la fonction $h$ définie par $h(x)=x^{2}\mathbb{E}(x)-2$

Exercice 9

1) Soit $f$ la fonction définie par :
 
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x^{2}+1 &\text{si} & x<0 \\ \dfrac{x+1}{-x^{2}+1} & \text{si} & x\geq 0\end{array}\right.$$
 
a) Déterminer le domaine de définition $Df$ de la fonction $f.$
 
b) Étudier la continuité de $f$ en 0.
 
2) Soit $g$ la fonction définie par :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{\mathbb{E(x)}}{x} &\text{si} & x\neq 0 \\ \\ 1 &\text{si} & x=0\end{array}\right.$$
 
a) Déterminer le domaine de définition $Dg$ de la fonction $g.$
 
b) Étudier la continuité de $g$ en 1.
 

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

sam, 07/04/2020 - 16:30

Assez bien

ASSIA EL KHOUBCHE (non vérifié)

mar, 12/21/2021 - 02:32

apprendre la connaissance

Anonyme (non vérifié)

ven, 03/05/2021 - 14:25

interessant

Anonyme (non vérifié)

dim, 04/11/2021 - 00:13

Ok

Anonyme (non vérifié)

dim, 11/14/2021 - 23:28

ok

Anonyme (non vérifié)

dim, 11/14/2021 - 23:28

merci

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