Série d'exercices : Fonctions - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1

Déterminer les taux de variation des fonctions suivantes et dresser leur tableau de variation
 
$f(x)=x^{2}\;,\quad g(x)=x^{2}-3x+1$
 
$h(x)=\dfrac{1}{x}\;,\quad k(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$
 
$m(x)=\dfrac{x^{2}+5x+7}{x+3}\;,\quad f_{1}(x)=x^{3}-3x$

Exercice 2

Étudier la parité des fonctions suivantes :
 
a) $f(x)=x^{2}$
 
b) $g(x)=x\sqrt{x^{2}-1}$
 
c) $h(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-4}$
 
d) $k(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-2}$

Exercice 3

1) Établir le tableau de variation de la fonction $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+1$
 
2) Faire la représentation graphique de $f$
 
3) Résoudre par le calcul l'équation $f(x)=0$ et l'inéquation $f(x)\leq 0$
 
4) Établir un lien entre le calcul et la représentation graphique
 
5) Résoudre $f(x)\geq 0$
 
6) On a montré que $\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(2)&=&0\\ \text{si}\quad x&\leq &2 \quad \text{alors}\quad f(x)\geq 0\\ \text{si}\quad x&\geq &2 \quad \text{alors}\quad f(x)\leq 0 \end{array}\right.$ 
 
Rassembler ces informations dans un tableau de signe
 
7) Établir le tableau de signe de $3x-1$

Exercice 4

Soit la fonction $f$ définie par $$f(x)=-x+\dfrac{6}{x+1}$$
 
$\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : 2 cm)
 
1) Quelle est son ensemble de définition ?
 
2) Montrer que $f$ est décroissante lorsque $x<-1.$
 
Qu'en est-il lorsque $x>-1$ ?
 
3) Déterminer par le calcul la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $D\ :\ y=x$
 
4) Tracer $D$ et $\mathcal{C}_{f}$
 
5) déterminer graphiquement la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $(Ox)$
 
6) Quelles inéquations doit-on résoudre pour répondre par le calcul à la question 5 ?
 
7) Vérifier que $$f(x)=\dfrac{-x^{2}-x+6}{x+1}$$
 
puis que $$-x^{2}-x+6=-\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{25}{4}\right]$$
 
Résoudre alors par le calcul l'inéquation $f(x)\geq 0$ et conclure quand à la question 5.

Exercice 5

Soient les fonctions $$f(x)=8-x^{3}\quad \text{et}\quad g(x)=-4x+8$$
 
1) Représenter les courbes des fonctions $f$ et $g$
 
2) a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$
 
b) Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\geq g(x)$
 
3) Factoriser l'expression $f(x)-g(x)$
 
4) Résoudre alors par le calcul l'équation et l'inéquation du 2

Exercice 6

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement par $$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x-2}{x-3}\;,\quad g(x)=2x^{2}-5x+1$$
 
1) Montrer que $I\begin{pmatrix} 3\\ 7 \end{pmatrix}$ est le centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}.$
 
2) Montrer que la courbe représentative de $g$ admet la droite d'équation $x=\dfrac{5}{4}$ comme axe de symétrie.

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

 
 

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