Les Polynômes - 1er

Classe: 
Première

I Définitions

Soient $a_{0}\;,\ a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ \ldots\;,\ a_{n}$ des nombres réels $((a_{i})_{0\leq i\leq n}).$
 
$\centerdot\ \ $ On appelle fonction polynôme ou polynôme toute expression de la forme $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$
 
$\centerdot\ \ $ Les réels $a_{0}\;,\ a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ \ldots\;,\ a_{n}$ sont appelés les coefficients du polynôme $P(x).$
 
$\centerdot\ \ $ Le plus grand entier $i$ tel que $a_{i}\neq 0$ est appelé le degré du polynôme $P(x)$, et on note $deg\;P=i$

Exemple :

$P(x)=6x^{5}+4x^{3}+2x-3\;,\quad deg\;P=5$
 
$\centerdot\ \ \ a_{n}$ est le coefficient dominant du polynôme $P(x)$ et $a_{0}$ est le terme constant du polynôme.

Remarques :

Si tous les coefficients sont nuls, on dit que le polynôme est nul; $P(x)=0$. Par convention on note $deg\;P=-\infty.$ On dit aussi que $P$ n'a pas de degré.
$$P(x)=0\;;\ \forall\;x\;\Leftrightarrow\;a_{i}=0\;;\ \forall\;i$$
 
Si $P(x)$ est un polynôme constant et non nul alors on a :
$$P(x)=k.x^{0}\in\mathbb{R}^{*}$$
 
Un polynôme du $2^{nd}$ degré est appelé trinôme du $2^{nd}$ degré.

II Opérations sur les polynômes

II.1 Égalité de deux polynômes

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes.
 
$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\;;\ \ a_{n}\neq 0\;\text{ et }\;deg\;P=n$
 
$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\;;\ \ b_{m}\neq 0\;\text{ et }\;deg\;Q=m$\\
 
$P(x)$ et $Q(x)$ sont égaux si, et seulement si, 
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} deg\;P(x) &=& deg\;Q(x)\\ \forall\; i\;;\ a_{i} &=& b_{i} \end{array}\right.$$ 
D'où, $$P(x)=Q(x)\;\Leftrightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{lcl} n &=& m\\ a_{i} &=& b_{i} \end{array}\right.\quad\forall\;i$$

II.2 Somme et produit de polynômes

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes
 
$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\;; \ \ a_{n}\neq 0\;\text{ et }\;deg\;P=n$
 
$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\;; \ \ b_{m}\neq 0\;\text{ et }\;deg\;Q=m$
 
$\centerdot\ \ $ On appelle somme des polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ le polynôme $$A(x)=P(x)+Q(x)$$

Remarque :

Le degré du polynôme $A$ est inférieur ou égal au plus grand des degrés de $P$ et $Q.$
 
$$deg\;(A)\leq sup\;(deg\;P\;,\ deg\;Q)$$
 
$\centerdot\ \ $ On appelle polynôme produit des polynômes $P$ et $Q$, le polynôme $$B(x)=P(x).Q(x)$$

Remarque :

Le degré du polynôme $B$ est égal à la somme des degrés de $P$ et $Q.$
 
$$deg\;B(x)=deg\;P(x)+deg\;Q(x)$$
 
$\centerdot\ \ \ k\in\mathbb{R}^{*}\;,\ k.P(x)$ est un polynôme qui a même degré que $P(x)$
 
$$\forall\;k\in\mathbb{R}^{*}\;;\ \ deg\;k.P(x)=deg\;P(x)$$

III Racine ou zéro d'un polynôme

Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n.$
 
On dit que $\alpha$ est racine de $P(x)=0$ ou $\alpha$ est un zéro de $P(x)$ si, et seulement si, $$P(\alpha)=0$$ (ou $P(x)$ est factorisable par $x-\alpha$) c'est-à-dire qu'il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $$P(x)=(x-\alpha)Q(x)$$
 
On a :
\begin{eqnarray} P(x)=(x-\alpha)Q(x)\Rightarrow  deg\;P(x)&=& deg\;((x-\alpha)Q(x)) \nonumber \\ \Rightarrow\qquad\quad\  n &=& deg\;(x-\alpha)+deg\;Q(x) \nonumber \\ \Rightarrow\qquad\quad\  n &=& 1+deg\;Q(x) \nonumber \\ \Rightarrow  deg\;Q(x) &=& n-1 \nonumber \end{eqnarray}

Exemple :

Soit $P(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;;\quad Q(x)=x^{4}+2x^{3}-x-2$
 
1) Vérifier que 1 est racine de $P(x)=0$ et que 1 et -2 sont racines de $Q(x)=0.$
 
2) Déterminer $P_{1}(x)$ et $Q_{1}(x)$ tels que $P(x)=P_{1}(x)(x-1)$ et $Q(x)=(x-1)(x+2)Q_{1}(x).$
 
3) Mettez $P(x)$ et $Q(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du $1^{e}$ degré sans résoudre $P(x)=0$ et $Q(x)=0.$

Résolution :

1) $P(1)=4\times 1+1-11\times 1+6=4+1-11+6=0$
 
$P(1)=0$ donc 1 est bien racine de $P(x)=0$
 
$Q(1)=1+2\times 1-1-2=1+2-1-2=0$
 
$Q(-2)=(-2)^{4}+2(-2)^{3}-(-2)-2=16-16+2-2=0$
 
$Q(1)=0$ et $Q(-2)=0$ donc 1 et -2 sont racines de $Q(x)=0$
 
2) Soit le polynôme $P_{1}(x)$ tel que $P(x)=P_{1}(x)(x-1).$
 
Alors, $deg\;P_{1}(x)=deg\;P(x)-1=3-1=2$
 
donc, $P_{1}(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$
 
ainsi, \begin{eqnarray} P(x) &=& P_{1}(x)(x-1) \nonumber \\ &=& (ax^{2}+bx+c)(x-1) \nonumber \\ &=& ax^{3}+bx^{2}+cx-ax^{2}-bx-c \nonumber \\ &=& ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c \nonumber \end{eqnarray}
 
On obtient donc : $P(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6= ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c.$
 
Les propriétés d'égalité de deux polynômes nous donnent :
 
$\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 4\\b-a &=& 1\\c-b &=& -11\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 4\\b-4 &=& 1\\c-b &=& -11\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 4\\b &=& 5\\c &=& -6 \end{array}\right.$
 
Par suite, $$P_{1}(x)=4x^{2}+5x-6$$
 
De même, on a $Q(x)=(x-1)(x+2)Q_{1}(x)$
 
donc, 
$deg\;Q(x)=deg\;(x-1)+deg\;(x+2)+deg\;Q_{1}(x)$
$\Rightarrow\;deg\;Q_{1}(x)=4-1-1=2$
 
ainsi, $Q_{1}$ est un polynôme de degré 2 et on note $Q_{1}(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0.$
 
On peut donc écrire \begin{eqnarray} Q(x) &=& (x-1)(x+2)Q_{1}(x) \nonumber \\ &=& (x^{2}+x-2)(ax^{2}+bx+c) \nonumber \\ &=& ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+ax^{3}+bx^{2}-2bx-2ax^{2}-2c \nonumber \\ &=& ax^{4}+(b+a)x^{3}+(c+b-2a)x^{2}+(c-2b)x-2c \nonumber \end{eqnarray}
 
On obtient alors : $Q(x)=x^{4}+2x^{3}-x-2=ax^{4}+(b+a)x^{3}+(c+b-2a)x^{2}+(c-2b)x-2c.$
 
Les propriétés d'égalité de deux polynômes permettent d'écrire :
 
$\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b+a &=& 2\\c-2b &=& -1\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b+1 &=& 2\\c-2b &=& -1\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b &=& 1\\c &=& 1\end{array}\right.$
 
Par conséquent, $$Q_{1}(x)=x^{2}+x+1$$
 
3) Comme $deg\;P_{1}(x)=2$ et $deg\;Q_{1}(x)=2$ alors, pour mettre $P(x)$ et $Q(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du $1^{e}$ degré sans résoudre $P(x)=0$ et $Q(x)=0$, il suffit de factoriser $P_{1}(x)$ et $Q_{1}(x)$ respectivement.
 
On a : $P_{1}(x)=4x^{2}+5x-6$
 
Soit $\Delta=25-4(4)(-6)=121\;\Rightarrow\;\sqrt{\Delta}=11$
 
Donc, $x_{1}$ et $x_{2}$ racines de $P_{1}(x)$ sont telles que : 
$x_{1}=\dfrac{-5-11}{8}=-2\;\ $ et $\;\ x_{2}=\dfrac{-5+11}{8}=\dfrac{3}{4}$
 
ainsi,  $P_{1}(x)=4(x-x_{1})(x-x_{2})=4(x+2)\left(x-\dfrac{3}{4}\right)$
 
mais comme $P(x)=(x-1)P_{1}(x)$ alors, on obtient $$P(x)=4(x-1)(x+2)\left(x-\dfrac{3}{4}\right)$$
 
Pour $Q(x)$ on a : $Q_{1}(x)=x^{2}+x+1$
 
Soit $\Delta=1-4=-3<0$
 
Donc, $Q_{1}(x)$ n'admet pas de racines dans $\mathbb{R}$ et donc pas de forme factorisée.
 
Par conséquent, $Q(x)$ ne peut se mettre sous forme d'un produit de facteurs du $1^{e}$ degré.
$$Q(x)=(x-1)(x+2)(x^{2}+x+1)$$

IV Fractions rationnelles

Soient $f$ et $h$ deux polynômes, la fonction $g$ définie par $$g(x)=\dfrac{f(x)}{h(x)}$$ est appelée une fraction rationnelle. Donc, une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes.

Remarque :

$$g(x)\;\text{ est définie pour tout }x\in\mathbb{R}\;\text{ tel que }\;h(x)\neq 0$$

Exemple :

Soient  $f$ et $g$ deux foncions définies respectivement par :
 
$f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+5}{x-3}\;,\quad g(x)=\dfrac{x^{3}-4x+5}{x^{2}-1}$
 
1) Déterminer $a\;,\ b$ et $c$ pour que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}$
 
2) Déterminer $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ pour que $g(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^{2}-1}$

Résolution :

1) Soit $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}$
 
On a :
\begin{eqnarray} f(x) &=& \dfrac{ax(x-3)+b(x-3)+c}{x-3} \nonumber \\ &=& \dfrac{ax^{2}-3ax+bx-3b+c}{x-3} \nonumber \\ &=& \dfrac{ax^{2}+(b-3a)x-3b+c}{x-3} \nonumber \end{eqnarray}
 
Or, $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+5}{x-3}$
 
Donc par identification, on obtient :
 
$\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b-3a &=& -4\\c-3b &=& 5\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b-3 &=& -4\\c-3b &=& 5\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b &=& -1\\c &=& 2\end{array}\right.$
 
D'où, $$f(x)=x-1+\dfrac{2}{x-3}$$
 
2) Soit $g(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^{2}-1}$
 
On a :
\begin{eqnarray} g(x) &=& \dfrac{ax(x^{2}-1)+b(x^{2}-1)+cx+d}{x^{2}-1} \nonumber \\ &=& \dfrac{ax^{3}-ax+bx^{2}-b+cx+d}{x^{2}-1} \nonumber \\ &=& \dfrac{ax^{3}+bx^{2}+(c-a)x+d-b}{x^{2}-1} \nonumber \end{eqnarray}
 
Comme $g(x)=\dfrac{x^{3}-4x+5}{x^{2}-1}$ alors, en procédant par identification, on obtient :
 
$\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b &=& 0\\c-a &=& -4\\d-b &=& 5\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b &=& 0\\c-1 &=& -4\\d &=& 5\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcr} a &=& 1\\b &=& 0\\c &=& -3\\d &=& 5\end{array}\right.$
 
D'où, $$g(x)=x+\dfrac{-3x+5}{x^{2}-1}$$
 
Auteur: 
Seyni Ndiaye

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