La Symétrie orthogonale par rapport à une droite donnée 6e

Classe: 
Sixième

I. Points symétriques par rapport à une droite

I.1 Définition

Soit $\mathcal{(D)}$ une droite donnée du plan et $M$ un point de ce plan.
 
On dit que $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à la droite $\mathcal{(D)}$ lorsque la droite $\mathcal{(D)}$ est la médiatrice de $[MM'].$

I.2 Vocabulaire

On peut dire que :
 
Le point $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à la droite $\mathcal{(D)}$
 
Les points $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à la droite $\mathcal{(D)}$

I.3 Notation

On note : $$s_{\mathcal{(D)}}(M)=M'$$

I.4 Construction à la règle et à l'équerre!!!

Je trace la droite $\mathcal{(D)}$ puis je place le point $M$.
 
Je trace la perpendiculaire à $\mathcal{(D)}$ passant par $M$. Cette droite coupe $\mathcal{(D)}$ en $I$. 
 
Je place le point $M'$ tel que $I$ soit le milieu de $[MM']$
 
1) Tracer la perpendiculaire à $\mathcal{(d)}$ passant par $A$
 
2) $A'$, le symétrique de $A$, se trouve sur cette perpendiculaire à la même distance que $A$ de la droite $\mathcal{(d)}.$
 
 
 
 
On dit que : Le point $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à la droite $\mathcal{(D)}.$
On note : $$s_{\mathcal{(D)}}(M)=M'$$

I.5 Construction à la règle et au compas

Je trace la droite $\mathcal{(D)}$ et je place le point $M$. Avec un même écartement du compas, je place deux points $A$ et $B$ équidistants par rapport à $M$ sur la droite $\mathcal{(D)}.$
 
Sans changer l'écartement du compas, je trace à partir de $A$ et  $B$ deux arcs de cercle de l'autre coté de la droite. Ces deux arcs se recoupent en un point ; c'est le point $M'$ symétrique de $M$ par rapport à $\mathcal{(D)}.$
 
On note : $$s_{\mathcal{(D)}}(M)=M'$$

Remarque :

Le symétrique d'un point est le point $M$ lui même.
 
On note :

II. Symétrique d'une figure simple

 
 
 

II.1 Droite

$$\left.\begin{array}{lll} s_{(\Delta)}(A) & = & A'\\ s_{(\Delta)}(B) & = & B' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{(\Delta)}(AB)=(A'B')$$
 
 
 

II.2 Segment

$$\left.\begin{array}{lll} s_{\mathcal{(D)}}(A) & = & A'\\ s_{\mathcal{(D)}}(B) & = & B' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{\mathcal{(D)}}[AB]=[A'B']$$
 
 
 

II.3 Demi-droite

$$\left.\begin{array}{lll} s_{\mathcal{(D)}}(A) & = & A'\\ s_{\mathcal{(D)}}(B) & = & B' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{\mathcal{(D)}}[AB)=[A'B')$$
 
 
 

II.4 Cercle

$$\left.\begin{array}{lll} s_{\mathcal{(D)}}(O) & = & O'\\ s_{\mathcal{(D)}}(M) & = & M' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{\mathcal{(D)}}[OM]=[O'M']\;\Rightarrow\;s_{\mathcal{(D)}}C(O\;;\ OM)=C(O'\;;\ O'M')$$
 
 
 

II.5 Angle

 
$$\left.\begin{array}{lll} s_{(D)}(A) & = & A' \\ s_{(D)}(B) & = & B' \\ s_{(D)}(C) & = & C' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{(D)}\widehat{(ABC)}=\widehat{(A'B'C')}$$
 
 
 

II.6 Triangle

$$\left.\begin{array}{lll} s_{(\Delta)}(A) & = & A'\\ s_{(\Delta)}(B) & = & B' \\ s_{(\Delta)}(C) & = & C' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{(\Delta)}(ABC)=(A'B'C')$$
 
 
 

II.7 Droites parallèles

 
$$\left.\begin{array}{lll} s_{(\Delta)}(D_{1}) & = & D_{1}' \\ s_{(\Delta)}(D_{2}) & = & D_{2}' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{(\Delta)}((D_{1})\parallel(D_{2}))=(D'_{1})\parallel(D'_{2})$$
 
 
 

II.8 Droites perpendiculaires

$$\left.\begin{array}{lll} s_{(\Delta)}(\mathcal{D}_{1}) & = & D_{1}' \\ s_{(\Delta)}(D_{2}) & = & D_{2}' \end{array}\right\rbrace\;\Rightarrow\;s_{(\Delta)}((D_{1})\perp(D_{2}))=(D'_{1})\perp(D'_{2})$$
 
 
 

III Axes de symétrie

Une droite $\mathcal{(d)}$ est un axe de symétrie d'une figure, si les deux parties de la figure se superposent par un pliage le long de la droite $\mathcal{(d)}$
 

III.1 Segment

 

III.2 Cercle

 

III.3 Triangle isocèle

 

III.4 Triangle équilatéral

 

IV Propriétés

 

IV.1 Conservation des distances

IV.2 Milieu d'un segment 

 

IV.3 Points alignés 

 

IV.4 Droites perpendiculaires 

 
2) Construire le symétrique d'un point
 
3) Construire le symétrique d'une figure
 
Construire le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à la droite $\mathcal{(d)}$
 
 
 
On construit les symétriques $A'\;,\ B'$ et $C'$ des points $A\;,\ B$ et $C$.
 
Puis on relie $A'\;,\ B'$ et $C'$
 

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