ENSA - Épreuve de Mathématiques - 2013

 

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1\;,\ -2\ $ et $\ 3$ avec les probabilités respectives $\ln a\;,\ \ln b\ $ et $\ \ln c.$

 

L'espérance mathématique $E(X)=1$ et les réels $a\;,\ b\ $ et $\ c$ sont dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une progression géométrique. 

 

Déterminer $a\;,\ b\ $ et $\ c.$

Le but de cet exercice est de calculer $I$ suivante :

$$I=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+t^{2}}dt$$

1) On définit, pour tout réel $X$, la fonction $F$ est définie par :

$$F(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}dt$$

Expliquer pourquoi la fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée $F'.$

 

2) Soit $g$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par :

$$g(x)=F(\tan x)$$

A l'aide du théorème de dérivation d'une fonction composée, démontrer que $g$ est dérivable et que $g'$ est constante.

 

En utilisant la valeur de $g(0)$ expliciter la fonction $g.$

 

3) En déduire que $I=\dfrac{\pi}{4}$

Partie A

 

On considère la fonction $g$ définie par :

$$g(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\mathrm{e}^{\tfrac{1}{x}}+1$$

a) Étudier les variations de $g$ sur $\left]-\infty\;,\ 0\right[$

 

b) Préciser son signe sur $\left]-\infty\;,\ 0\right[$

 

Partie B

 

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} \dfrac{x}{1+\mathrm{e}^{\tfrac{1}{x}}}&\text{si}&x<0\\\\x-\ln(x+1)&\text{si}&x>0\\\\0&\text{si}&x=0\end{array}\right.$$

1) Déterminer l'ensemble de définition de $f\;,\ E_{f}.$

 

2) Étudier la continuité de $f$ en $x_{0}=0.$

 

3 Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_{0}=0.$ Interpréter.

 

4) Étudier les limites aux bornes de $E_{f}.$

 

5) Étudier les branches infinies éventuelles.

 

6) Préciser le domaine de dérivabilité de $f$ et calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$

 

7) Dresser le tableau de variation de $f.$

 

8) Tracer $\mathcal{C}_{f}$, la courbe représentative de $f$

 

7) Dresser le tableau de variation de $f.$

 

8) Tracer $\mathcal{C}_{f}$, la courbe représentative de $f.$

 

9) Déterminer l'aire du domaine délimité par la droite d'équation $y=x$, la courbe de $f$ et les droites d'équation $x=1\ $ et $\ x=2.$

 

$$\text{Durée 2 heures}$$