Droites perpendiculaires et droites parallèles - 6e

Classe: 
Sixième

I. Droites perpendiculaires

I.1. Présentation

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes en formant un angle droit.

 

 
Les droites $(\mathcal{D}_{1})$ et $(\mathcal{D}_{2})$ sont perpendiculaires 
 
On note : $(\mathcal{D}_{1})\perp(\mathcal{D}_{2})$
 
On lit : la droite $(\mathcal{D}_{1})$ est perpendiculaire à la droite $(\mathcal{D}_{2})$

I.2. Construction

I.2.1. La règle  et l'équerre

On trace la droite $(\mathcal{D}_{1})$ avec la règle.
 
On pose un coté de l'angle droit de l'équerre sur $(\mathcal{D}_{1})$
 
On trace la droite $(\mathcal{D}_{2})$ sur l'autre coté de l'angle droit de l'équerre :
 
On prolonge $(\mathcal{D}_{2})$ par la règle et on met le codage

I.1.2 La règle et le compas

On trace la droite $(\mathcal{D}_{1})$ avec la règle
 
On choisit deux points distincts sur $(\mathcal{D}_{1})$
 
A partir de chaque point; on trace un arc de cercle qui dépasse le milieu du  segment formé par les deux points.
 
On trace la droite $(\mathcal{D}_{2})$passant par les deux points formés par les intersections des deux arcs.
 
On a : $(\mathcal{D}_{1})\perp(\mathcal{D}_{2})$ et on met le codage.

I.3. Propriété

Activité

Tracer une droite $(\mathcal{D})$ puis placer un point $A$ n'appartenant pas $(\mathcal{D}).$
 
Tracer la droite $(\mathcal{D'})$ passant par $A$ tel que : $(\mathcal{D}')\perp(\mathcal{D}).$
 
Combien peut-on tracer de droites $(\mathcal{D'})$ passant par $A$ ?

 

 

Énoncé

Par un point du plan passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

I.4. Médiatrice d'un segment

Activité

Soit $[AB]$ un segment du plan et $O$ son milieu.
 
Tracer la droite $(\mathcal{D})$ passant par $O$ et perpendiculaire à $(AB).$
 
Que représente $(\mathcal{D})$ pour $[AB]$ ?

 

 

Définition

Une médiatrice d'un segment est une droite qui passe par le milieu de ce segment et perpendiculaire au support de ce segment.

Traduction mathématique

$\mathcal{(D)}$ est la médiatrice de $[AB]$ signifie que $\mathcal{(D)}$ passe par le milieu de $[AB]$ et est perpendiculaire à $(AB).$

Propriété 1

Tout point de $\mathcal{(D)}$ est situé à égale distance des extrémités de ce segment.

Propriété 2

Tout point situé à égale distance des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment.

I.5. Hauteur d'un triangle

La hauteur d'un triangle est la droite qui passe par un sommet et perpendiculaire au support du coté opposé à ce sommet.

 

I.6. Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont les supports de deux cotés sont perpendiculaires.
 
Le troisième coté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.

 
 
 

II. Droites parallèles

II.1. Présentation

Activité

Soit $\mathcal{(D)}$ une droite du plan. Tracer la droite $\mathcal{(L)}$ perpendiculaire à $\mathcal{(D)}$ puis la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à $\mathcal{(D)}.$
 
Que peut-on dire des droites $\mathcal{(L)}$ et $(\Delta)$ ?

 

 

Définition

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont perpendiculaires à une même droite.
 
On écrit : $\mathcal{(L)}\parallel(\Delta)$.
 
On lit : la droite $\mathcal{(L)}$ est parallèle à la droite $(\Delta)$.

Traduction mathématique

Données : $\mathcal{(L)}\perp\mathcal{(D)}\ $ et $\ (\Delta)\perp\mathcal{(D)}$
 
Conclusion : $\mathcal{(L)}\parallel(\Delta)$

II.2. Construction

II.2.1. La règle et l'équerre

On trace la droite $(\Delta)$ avec la règle et on place un point $A$ n'appartenant pas à $(\Delta).$
 
On pose un coté de l'angle droit de l'équerre sur $(\Delta)$ et sur l'autre côté de l'angle droit, on place la règle.
 
En maintenant une légère pression sur la règle, on fait glisser l'équerre jusqu'au point $A.$
 
On retire la règle et on trace la droite $(\mathcal{L})$ passant par $A.$
 
On prolonge $(\mathcal{L})$ par la règle et on met le codage

II.2.2. La règle et le compas

On trace la droite $(\Delta)$ avec la règle
 
On choisit deux points distincts $A\ $ et $\ B$ sur $(\Delta)$
 
A partir de chaque point ; on trace un arc de cercle de rayon la longueur du  segment $[AB].$
 
Ensuite, on prend comme centre le point $A$ et avec le compas on trace un arc de cercle qui coupe le premier arc au point $C.$
 
Après, on passe en $B$, en conservant la même ouverture $AC$ et on place le point $D.$
 
Enfin, on trace la droite $(\mathcal{L})$ passant par les deux points $C\ $ et $\ D.$
 
On a : $(\mathcal{L})\parallel(\Delta)$ et on met le codage.

II.3. Propriétés

Activité

Soient $\mathcal{(D)}$ une droite du plan et $A$ un point n'appartenant pas à $\mathcal{(D)}.$
 
Tracer la droite $\mathcal{(D')}$ passant par $A$ et parallèle à $\mathcal{(D)}.$
 
Combien y a-t-il de possibilités ?

 

Propriété 1

Par un point du plan,passe une droite et une seule parallèle à une droite donnée.

Activité

Soient $\mathcal{(L)}$ et $(\Delta)$ deux droites parallèles.
 
Tracer la droite $\mathcal{(D)}\parallel\mathcal{(L)}.$
 
Quelle est la position de $\mathcal{(D)}$ par rapport à $(\Delta)$ ?

 

 

Propriété 2

Deux droites étant parallèles;toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

Traduction mathématique

Données : $\mathcal{(L)}\parallel(\Delta)\ $ et $\ \mathcal{(L)}\parallel\mathcal{(D)}$
 
Conclusion : $(\Delta)\parallel\mathcal{(D)}$

Propriété 3

Lorsque deux droites sont parallèles;toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Traduction mathématique

Données : $\mathcal{(L)}\parallel(\Delta)\ $ et $\ \mathcal{(L)}\perp\mathcal{(D)}$
 
Conclusion : $(\Delta)\perp\mathcal{(D)}$

 

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