Douane - Épreuve de Mathématiques - 2013

 

A Kolda, le service régional des mines, chargé de l'immatriculation des véhicules automobiles, attribue à chaque véhicule automobile un numéro minéralogique comportant $4$ chiffres suivis de $2$ lettres de l'alphabet.

 

On suppose que $0000$ n'est jamais utilisé et tous les couples de lettres peuvent être utilisées.

 

Combien de véhicules peut-on ainsi immatriculer dans la région ?

Une personne distribue de l'aumône à des nécessiteux de la façon suivante :

 

Chaque jour, elle donne $1\,000\;\text{FCFA}$ au premier nécessiteux rencontré ; $975\;\text{FCFA}$ au deuxième, ainsi de suite à chaque nécessiteux rencontrés, elle donne $25\;\text{FCFA}$ de moins que le précédent. Au dernier, elle donne $25\;\text{FCFA}.$

 

On désigne par $I_{n}\;,\ n$ entier naturel non nul, le montant remis au nième nécessiteux.

 

1) Montrer que la suite $(I_{n})$ est une suite arithmétique de terme général

$$I_{n}=1025-25n\qquad(02\,\text{points})$$

2) Calculer le nombre de nécessiteux ainsi servis par jour.$\quad(02\,\text{points})$

 

3) Calculer la somme $S$ dépensée par cette personne chaque jour.$\quad(02\,\text{points})$

Soit la fonction numérique de la variable $f$ définie par :

$$f(x)=x^{2}\mathrm{e}^{x}$$

et $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité graphique $2\,cm)$

 

1) Déterminer le domaine de définition $D_{f}\ $ de $\ f\quad(0.5\,\text{point})$

 

2) a) Déterminer $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x).$ Interpréter graphiquement ce résultat.$\quad(0.5+0.5\,\text{point})$

 

b) Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x).$ Étudier la nature de la branche infinie.$\quad(01\,\text{point})$

 

3) Montrer que $f'(x)=(x^{2}+2x)\mathrm{e}^{x}$ ; où $f'$ est la dérivée de $f.$ Étudier le signe de $f'(x).$ En déduire le tableau de variation de $f.\quad(01+01+01.5\,\text{points})$

 

4) Tracer la courbe $C_{f}).\quad(02\,\text{points})$

 

5) Soit la fonction numérique $F$ définie par :

 

$$F(x)=(x^{2}-2x+2)\mathrm{e}^{x}\quad\text{pour tout réel }x$$

 

a) Montrer que pour tout $x$ réel $F'(x)=f(x).\quad(01\,\text{point})$

 

b) En déduire l'aire en $cm^{2}$ du domaine délimité par les droites d'équations respectives

 

$$x=-2\quad\text{et}\quad x=0\;,\ \text{ l'axe }\ (Ox)\ \text{ et la courbe de }f\quad(01\,\text{point})$$

 

 

$$\text{Durée 2 heures}$$