Devoir surveillé $n^{\circ}$10 1e S

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Dans le plan orienté, on considère un losange $ABCD$ de côté $a$ tel que $$mes\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{3}$$
 
Le point $A'$ tel que le triangle $ADA'$ soit isocèle rectangle en $D$ avec $$mes\left(\overrightarrow{DA'}\;,\ \overrightarrow{DA}\right)=\dfrac{\pi}{2}$$
 
Soit $I$ le point d'intersection des droites $(AA')\text{ et }(BD)\text{ et }O$ le milieu de $[AA'].$
 
1) Faire la figure en prenant $AB=a=4\;cm.$
 
2) Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ qui transforme $A\text{ en }A'.$
 
a) Construire en justifiant l'image $C'$ du point $C\text{ par }h.$
 
b) Montrer que la droite $(BD)$ est la médiatrice de $[A'C'].$
 
c) En déduire la nature du quadrilatère $ACC'A'.$
 
d) Comparer les distances $DC\text{ et }DC'$ puis les mesures des angles orientés $\left(\overrightarrow{DA'}\;,\ \overrightarrow{DA}\right)\text{ et }\left(\overrightarrow{DC}\;,\ \overrightarrow{DC'}\right).$
 
3) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
 
On admettra que $mes\left(\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{\pi}{2}.$
 
a) Déterminer les images de $A\text{ et }D\text{ par }R.$
 
b) Montrer que l'image de $B$ par $R$ est le point $C'$ défini en 2) a)
 
c) Comparer les longueurs $A'C'\text{ et }BD.$
 
4) a) Exprimer les longueurs $AC\text{ et }BD$ en fonction de $a.$
 
b) Déterminer le rapport $k$ de l'homothétie $h.$

Exercice 2

1) $ABC$ est un triangle équilatéral de centre $O$ et de sens direct.
 
Déterminer chacune des transformations suivantes :
 
a) $f=r\left(B\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\circ r\left(C\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$
 
b) $g=t_{\overrightarrow{BC}}\circ r\left(B\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$
 
c) $h=s_{(AB)}\circ s_{(AC)}$
 
d) $f=r\left(B\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\circ r^{-1}\left(A\;,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$
 
2) Soit $f$ l'application qui à tout point $M(x\;,\ y)$ associe le point $M'(x'\;,\ y')$ du plan telle que : 
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y+1\\ \\ y' &=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y+\sqrt{2}-1 \end{array}\right.$$
 
a) Montrer que $f$ es tune bijection puis exprimer $f^{-1}.$
 
b) Montrer que $f$ est tune isométrie du plan.
 
c) Déterminer les points invariants par $f.$ En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f.$
 

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