Bac Maths S2 1er groupe 2015

Exercice 1 (03.5 points)

Le 1), 2) et 3) de cet exercice sont faits chacun de quatre affirmations. Dire pour chacune de ces affirmations si elle et vraie ou fausse.
 
1) L'évènement contraire de " $A$ sachant $B$ " est : $\qquad(0.5\;pt)$
 
a) $\overline{A}$ sachant $B\qquad$ b) $A$ sachant $\overline{B}$
 
c) $\overline{A}$ sachant $\overline{B}\qquad$ d) $\overline{A}\cap B$.
 
2) Soient $E$ et $F$ deux événements indépendants d'un même espace probabilisé, on a : $\qquad(0.5\;pt)$
 
a) $p(E/F)=0\qquad$ b) $p(E\cup F)=p(E)\times p(\overline{F})+p(F)$
 
c) $p(E\cap F)=0\qquad$ d) $p(E/F)=1$.
 
3) Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n=4$ et $p\in ]0,\ 1[$
 
a) si $p=\dfrac{1}{2}$ alors $p(X=2)=2p(X=1)\;,$
 
b) si $p=\dfrac{1}{4}$ alors $p(X=3)>\dfrac{1}{4}$
 
c) si $p=\dfrac{1}{2}$ alors $p(X>1)=1\;,$
 
d) si $p(X=1)=8\;p(X=0)$ alors $p=\dfrac{2}{3}\qquad(0.75\;pt)$
 
4) Le plan $(P)$ est rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$.
 
$A$ et $B$ sont deux points du plan $(P)$ d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$.
 
Considérons $M$ et $M'$ deux points du plan $(P)$ distincts de $A$ et $B$.
 
Notons $z$ et $z'$ les affixes respectives de $M$ et $M'$.
 
Interpréter géométriquement les résultats ci-dessous :
 
a) $|z-z_{A}|=1\quad(0.25\; pt)\quad$    b) $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|\quad(0.5\; pt)$
 
c) $|z'|=|z-z_{A}|\quad(0.5\; pt)\quad$ d)  $arg\left(\dfrac{z-z_{A}}{z-z_{B}}\right)=arg\left(\dfrac{z'-z_{A}}{z'-z_{B}}\right)\ [\pi]\quad(0.5\; pt)$

Exercice 2 (05 points)

1) Soit $p(z)=z^{3}+3z^{2}-3z-5-20\mathrm{i}\;,\ z\in\mathbb{C}$.
 
a) Démontrer que $2+\mathrm{i}$ est une racine de $p(z).\qquad (0.25\; pt)$
 
b) En déduire les solutions de l'équation $p(z)=0$ dans $\mathbb{C}.\qquad (01\; pt)$
 
2) Dans le plan $(P)$ rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$ d'unité $1\; cm\;,$ on considère les points $A,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $2+\mathrm{i}\;,\ -1-2\mathrm{i}\;,\ $ et $-4+\mathrm{i}$.
 
a) Placer les points $A,\ B$ et $C$ puis calculer les distances $AB$ et $BC.\qquad (0.75\; pt)$
 
b) Démontrer que $arg\left(\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}\right)=(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC})\ [2\pi].\qquad (0.25\; pt)$
 
c) En déduire une mesure en radian de l'angle $(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC}).\qquad (0.25\; pt)$
 
d) Déduire de tout ce qui précède la nature du triangle $ABC.\qquad (0.25\; pt)$
 
3) Soit $r$ la rotation qui laisse invariant le point $B$ et qui transforme $A$ en $C$.
 
a) Montrer que l'application $f$ associée à $r$ est définie par : $$f(z)=\mathrm{i}z-3-\mathrm{i}.\qquad (0.5\; pt)$$
 
b) Préciser les éléments géométriques caractéristiques de $r.\qquad (0.25\; pt)$
 
4) Soit $T\ :\ M(z)\mapsto M'(z')$ telle que $z'=\mathrm{i}\alpha^{2}z+\alpha\;,\ \alpha\in\mathbb{C}$.
 
a) Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $T$ est une homothétie de rapport 2.$\qquad (0.5\; pt)$
 
b) Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de $T$ pour le nombre complexe $\alpha$ vérifiant $|\alpha|=\sqrt{2}$ et $arg\;\alpha=-\dfrac{\pi}{4}.\qquad (0.25\; pt)$
 
5) On considère la transformation $g=r\circ T$. On suppose dans ce qui suit que $\alpha=1-\mathrm{i}$.
 
a) Montrer que l'application $h$ associée à $g$ est définie par : $$h(z)=2\mathrm{i}z-2.\qquad (0.25\; pt)$$
 
b) Donner les éléments géométriques caractéristiques de $g.\qquad (0.5\; pt)$

Exercice 3 (02.5 points)

Au Sénégal une entreprise veut vérifier l'efficacité de son service de publicité. Elle a relevé chaque mois durant une période de $6\;mois$ les sommes $X$ consacrées à la publicité et le chiffre d'affaire constaté $Y$ ($X$ et $Y$ sont en milliards de $FCFA$).
On donne le tableau ci-dessous :
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Rang du mois} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline X & 1.2 & 0.5 & 1 & 1 & 1.5 & 1.8 \\ \hline Y & 19 & 49 & 100 & 125 & 148 & 181  \\ \hline\end{array}$$
 
Les résultats seront donnés au centième près.
Le détail des calculs n'est pas indispensable. On précisera les formules utilisées.
 
1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $X$ et $Y.\qquad (01\; pt)$
 
2) a) Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X.\qquad(01\;pt)$
 
b) Déterminer la somme qu'il faut investir en publicité si l'on désire avoir un chiffre d'affaire de 300 milliards si cette tendance se poursuit. $\qquad(0.5\; pt)$

Exercice 4 (09 points)

A) 1) En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout réel $\alpha$ :
$$I(\alpha)=\int_{0}^{\alpha}\mathrm{e}^{t}(t+2)\mathrm{d}t.$$
 
En déduire $I(x).\qquad (0.25\; pt)$
 
2) Soit $k$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Considérons la fonction $h$ telle que $$h(x)=k(x)\mathrm{e}^{-x}\;,\ \forall\;x\in\mathbb{R}$$
 
On se propose de déterminer la fonction h de façon à ce qu'elle vérifie les conditions suivantes, $$\forall\;x\in\mathbb{R}\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} h'(x)+h(x) &=& x+2\\ h(0) &=& 2 \end{array}\right.$$ 
 
a) Vérifier que $k'(x)=(x+2)\mathrm{e}^{x}.\qquad (0.5\; pt)$
 
b) En déduire $k$ puis $h.\qquad (0.25+025\; pt)$
 
B) I) 1) Étudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$ définie par :
$$g(x)=x+1+\mathrm{e}^{-x}.\qquad (01.5\; pt)$$
 
2) En déduire que $g(x)$ est strictement positif. $\qquad(0.25\; pt)$
 
II) Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 
$$f(x)=\ln(x+1+\mathrm{e}^{-x})$$
 
$(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé
$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.
 
1) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations. $\qquad(02.5\; pts)$
 
2) Pour tout $x$ strictement positif, on note $M$, le point de la courbe de la fonction
logarithme népérien d'abscisse $x$ et $N$ le point de $(\mathcal{C}_{f})$ de même abscisse.
 
a) Démontrer que $0<\overline{MN}<\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right).\qquad (0.25\; pt)$
 
b) Quelle est la limite de $\overline{MN}$ quand $x$ tend vers $\infty.\qquad (0.25\; pt)$
 
3) a) Démontrer que :
$$f(x)=-x+\ln(x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+1)\;,\ \forall\;x\in\mathbb{R}.\qquad (0.5\; pt)$$
 
b) En déduire que $(\mathcal{C}_{f})$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ au voisinage de $-\infty$ et
déterminer la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à $(\Delta)$ pour $x<-1.\qquad (0.25+0.25\; pt)$
 
4) Construire $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\Delta)$ dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).\qquad (01.5\; pt)$

Correction Bac Maths S2 1er groupe 2015

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Commentaires

On pose z 2 + ( 5 + i ) z + 6 + 7 i = 0 . Δ = 18 i je pense que D=-18i merci

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