Équation du $2^{nd}$ degré - 2nd

Classe: 
Seconde

I Trinôme du second degré

I.1 Définition

On appelle trinôme du second degré, toute expression de la forme $$ax^{2}+bx+c\;;\quad a,\ b\ \text{ et }c\ \in\mathbb{R}\;;\quad  a\not=0$$

I.2 Forme canonique d'un trinôme du second degré

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$. On a :

$f(x)=a\left[x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right]\ $ or $x^{2}+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}$

donc

\begin{eqnarray} f(x) & = & a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}+\dfrac{c}{a}\right] \nonumber \\ & = &  a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}+\dfrac{4ac}{4a^{2}}\right] \nonumber\\ & = & a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)\right] \nonumber\end{eqnarray}

Ainsi, la forme canonique de $f(x)$ est donnée par $$a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)\right]$$

Exercice d'application 

Déterminer les formes canoniques de 
 
$f(x)=3x^{2}-4x+5$
 
$g(x)=-2x^{2}+7x-9$
 
$h(x)=x^{2}-6x+7$
 
$m(x)=-x^{2}+6x-9$

Résolution

\begin{eqnarray} f(x)&=&3\left[x^{2}-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}\right]\quad \text{ or }x^{2}-\dfrac{4}{3}x=\left(x-\dfrac{4}{6}\right)^{2}-\dfrac{16}{36} \nonumber \\ &=&3\left[\left(x-\dfrac{4}{6}\right)^{2}-\dfrac{16}{36}+\dfrac{5}{3}\right] \nonumber \\ &=&3\left[\left(x-\dfrac{4}{6}\right)^{2}-\left(\dfrac{16-60}{36}\right)\right] \nonumber \\ &=&3\left[\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{11}{9}\right)\right] \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} g(x)&=&-2\left[x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{9}{2}\right]\quad \text{ or }x^{2}-\dfrac{7}{2}x=\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}-\dfrac{49}{16} \nonumber \\ &=&2\left[\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}-\dfrac{49}{16}+\dfrac{9}{2}\right] \nonumber \\ &=&2\left[\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}-\left(\dfrac{49-72}{16}\right)\right] \nonumber \\ &=&2\left[\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}+\left(\dfrac{23}{16}\right)\right] \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} h(x) &=& x^{2}-6x+7\quad \text{ or }x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9 \nonumber \\ &=&(x-3)^{2}-9+7 \nonumber \\ &=&[(x-3)^{2}-2] \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} m(x)&=&-1[x^{2}-6x+9]\quad \text{ or }x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9 \nonumber \\ &=&-1[(x-3)^{2}-9+9] \nonumber \\ &=&-(x-3)^{2} \nonumber \end{eqnarray}

I.3 Résolution de $ax^{2}+bx+c=0$ et factorisation

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$
$\Longrightarrow\ f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)\right]$

Posons $\Delta=b^{2}-4ac$. $\Delta$ est appelé le discriminant du trinôme $ax^{2}+bx+c$.

Donc $f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right]$

Cherchons les solutions de $f(x)=0$ suivant $\Delta$ puis factorisons $f(x)$.

$1^{e}$ cas $\Delta<0$

Si $\Delta<0$ alors $-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}>0\ $ or $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}\geq 0$

donc $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}>0\ \Longrightarrow\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\neq 0\ $  or $a\neq 0$

donc $f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right]\neq 0\quad \forall\;x$

d'où si $\Delta<0$ l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ n'a pas de solutions et $f(x)$ n'est pas factorisable. $$S=\emptyset$$

$2^{e}$ cas $\Delta=0$

Si $\Delta=0$ alors $-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}=0$

donc $f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}$

$f(x)=0$ si et seulement si $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=0\ \ $ or $a\neq 0$

donc

\begin{eqnarray} f(x)=0 & \Leftrightarrow & a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow &  \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x=-\dfrac{b}{2a}\ \text{ ou }\ x=-\dfrac{b}{2a} \nonumber \end{eqnarray}

On a donc une racine double $x_{0}=-\dfrac{b}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_{0})^{2}$

D'où si $\Delta=0,\ \ ax^{2}+bx+c=0$ a une racine double $$x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\ \; ;\ S=\left\lbrace-\dfrac{b}{2a}\right\rbrace$$ et $f(x)=a(x-x_{0})^{2}$ est la forme factorisée de $f(x)$.

$3^{e}$ cas $\Delta>0$

Si $\Delta>0$ alors $\dfrac{\Delta}{4a^{2}}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^{2}$

donc

\begin{eqnarray} f(x) & = & a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^{2}\right] \nonumber \\ & = & a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \nonumber \\ & = &  a\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \nonumber \end{eqnarray}

Comme $a\neq 0$ alors
\begin{eqnarray} f(x)=0 & \Leftrightarrow & \left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0 \text{ ou } \left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \nonumber \end{eqnarray}

Donc si $\Delta>0$ on a deux solutions distinctes

$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

et $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ est la forme factorisée de $f(x)$.

D'où, si $\Delta>0;\quad ax^{2}+bx+c=0$ admet deux racines distinctes
$$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et }x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

$S=\{x_{1};\ x_{2}\}$ et $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ est la forme factorisée de $f(x)$.

I.4 Le signe de $ax^{2}+bx+c$

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right]$ avec $a\neq 0$ et $\Delta=b^{2}-4ac$.

Étudions le signe de $f(x)$ suivant celui de $\Delta$

$1^{e}$ cas $\Delta<0$

Si $\Delta<0$ alors $-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}>0\ $ or $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}\geq 0$

donc $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}>0$

$a>0\ \Longrightarrow\ f(x)>0$.

Ainsi, pour  $\Delta<0$ le trinôme $ax^{2}+bx+c$ est toujours du signe de $a$.

Et donc, $a<0\ \Longrightarrow\ f(x)<0$.

$2^{e}$ cas $\Delta=0$

Si $\Delta=0$ alors $f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}\quad$ or $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}\geq 0$

Et donc,

si $x=-\dfrac{b}{2a}$ alors $f(x)=0$.

si $x\neq-\dfrac{b}{2a}$ alors $f(x)$ a même signe que $a$.

Ainsi, pour $\Delta=0$, $\ f(x)$ est toujours du signe de $a$ sauf pour $x=-\dfrac{b}{2a}$

$3^{e}$ cas $\Delta>0$

Si $\Delta>0$ alors le trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ est factorisable et admet deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$. On a alors :

$f(x)=a\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

Exploitons le tableau de signe ci-après

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}
\hline
x & -\infty & & x_{1} & & x_{2} & & +\infty \\
\hline
x-x_{1} & & - & 0 & + &  & + &  \\
\hline
x-x_{2} &  & - &  & - & 0 & + & \\
\hline
(x-x_{1})(x-x_{2}) &  & + &  & - &  & + & \\
\hline
f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) &  & \text{signe de }a & 0 & -\text{signe de }a & 0 & \text{signe de }a & \\
\hline
\end{array}$$

Nous observons donc que si $\Delta>0$ alors $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ à l'intérieur des racines.

Exercice d'application

Donner la forme factorisée de $f(x)$ et $g(x)$ et déterminer leur signe suivant les valeurs de $x.$
 
$f(x)=2x^{2}+2x-24$
 
$g(x)=-x^{2}+x+2$

Résolution

Factorisation de $f(x)$
 
$f(x)=2x^{2}+2x-24$
 
On a $\Delta=2^{2}-4(2)(-24)=196=14^{2}$
 
Donc $x_{1}=\dfrac{-2-14}{4}=-4\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{-2+14}{4}=3$
 
D'où $f(x)=2(x+4)(x-3)$
 
Signe de $f(x)$
 
$$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty& &-4& &3& &+\infty \\ \hline & & &|& &|& & \\ f(x)& &+&0&-&0&+& \\ & & &|& &|& & \\ \hline\end{array}$$
 
Ainsi, d'après le tableau de signe on a 
 
$f(x)\geq 0$ si $x\in\;]-\infty\;;\ -4]\cup[3\;;\ +\infty[$
 
$f(x)\leq 0$ si $x\in[-4\;;\ 3]$
 
Factorisation de $g(x)$
 
$g(x)=-x^{2}+x+2$
 
Soit $\Delta=(1)^{2}-4(-1)(2)=9=3^{2}$
 
Alors $x_{1}=\dfrac{-1-3}{-2}=2\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{-1+3}{-2}=-1$
 
D'où $g(x)=-(x+1)(x-2)$
 
Signe de $g(x)$
 
$$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty& &-1& &2& &+\infty \\ \hline & & &|& &|& & \\ g(x)& &-&0&+&0&-& \\ & & &|& &|& & \\ \hline\end{array}$$
 
Donc d'après le tableau de signe on a
 
$g(x)\leq 0$ si $x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[2\;;\ +\infty[$
 
$g(x)\geq 0$ si $x\in[-1\;;\ 2]$ 

Remarque : Discriminant réduit

Soit le trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$ ; avec $a\neq 0.$
 
On a $\Delta=b^{2}-4ac$ et soit $b'\in\mathbb{R}$ tel $b=2b'$
 
Alors, \begin{eqnarray}\Delta&=&(2b')^{2}-4ac \nonumber \\ &=&4b'^{2}-4ac \nonumber \\ &=&4(b'^{2}-ac) \nonumber \end{eqnarray}
 
Posons $\Delta'=b'^{2}-ac$ donc $\Delta=4\Delta'$
 
$\Delta'$ est appelé discriminant réduit.
 
Si $\Delta'>0$ alors on a deux racines qui sont de la forme 
 
$$x_{1}=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$$

Exemple 

Soit $f(x)=3x^{2}-6x+2$
 
On a $3x^{2}-6x+2=3x^{2}+2(-3)x+2$ donc $\Delta'=(-3)^{2}-3\times 2=9-6=3$
 
Ainsi, $x_{1}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}$

I.5 Théorème

Soit le trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$, de discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$. L'étude de ce trinôme est récapitulée dans les tableaux ci-après.

$$\begin{array}{|c|}
\hline
\Delta<0 \\
 \text{Pas de racines }\\
S=\emptyset \\
 ax^{2}+bx+c\text{ non factorisable } \\
  ax^{2}+bx+c
\text{ est toujours du signe de }a \\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|}
\hline
\Delta=0 \\
 \text{ On a une racine double; }
x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\\
S=\{x_{0}\}\\
f(x)=a(x-x_{0})^{2}\\
 ax^{2}+bx+c
\text{ est du signe de }a\\
\text{ sauf pour }x=x_{0}=-\dfrac{b}{2a} \\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|}
\hline
\Delta>0 \\
 \text{ On a deux racines distinctes }\\
x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et } x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
S=\{x_{1};\ x_{2}\} \\
f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\\
  ax^{2}+bx+c
\text{ est du signe de }a \\
\text{ à l'extérieur des reacines, et du signe de }
-a\\
\text{ à l'intérieur des racines } \\
\hline
\end{array}$$

I.6 Somme et produit des racines d'un trinôme du second degré

Soit le trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$, de discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$. Supposons que $f(x)$ admette deux racines distinctes (c'est-à-dire $\Delta>0$) $x_{1}$ et $x_{2}$. On a :

$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

Exprimons la somme des racines $S=x_{1}+x_{2}$ et le produit des racines $P=x_{1}.x_{2}$ en fonction de $a$, $\ b$ et $c$.

On a

\begin{eqnarray} S & = & x_{1}+x_{2} \nonumber \\ & = & \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \nonumber \\ & = & \dfrac{-2b}{2a} \nonumber \\ & = & -\dfrac{b}{a} \nonumber \end{eqnarray}

donc $$S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$$

et

\begin{eqnarray} P & = & x_{1}.x_{2} \nonumber \\ & = & \left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \nonumber \\ & = & \dfrac{(-b)^{2}-(\sqrt{\Delta})^{2}}{4a^{2}} \nonumber \\ & = & \dfrac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}} \nonumber \\ & = & \dfrac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}} \nonumber \\ & = &  \dfrac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}} \nonumber \\ & = & \dfrac{4ac}{4a^{2}} \nonumber \\ & = & \dfrac{c}{a} \nonumber \end{eqnarray}

donc $$P=x_{1}.x_{2}=\dfrac{c}{a}$$

Exercice d'application 

1) Sans chercher les solutions de l'équation $$2x^{2}-(\sqrt{7}-\sqrt{5})x-9=0$$
déterminer la somme et le produit des racines.
 
2) Soit l'équation $$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{3}x-2\sqrt{3}-4\sqrt{2}=0$$
Sachant que 2 est racine déterminer l'autre racine sans calculer $\Delta$

Résolution

1) $S=x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\ $ et $\ P=x_{1}.x_{2}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-9}{2}$
 
2) 2 est racine de $\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{3}x-2\sqrt{3}-4\sqrt{2}=0$
 
On a $S=x_{1}+x_{2}=2+x_{2}=\dfrac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ donc $x_{2}=\dfrac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-2$
 
Ainsi, $x_{2}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-2$
 
On a aussi $P=2x_{2}=\dfrac{-2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
 
Ce qui donne $x_{2}=\dfrac{-2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-2$
 

Remarque :

Si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont solutions de $ax^{2}+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ alors $x_{1}$ et $x_{2}$ sont solutions de $a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)=0$

donc $x_{1}$ et $x_{2}$ sont solutions de $x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\ $ or $S=-\dfrac{b}{a}$ et $P=\dfrac{c}{a}$

d'où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont solutions de $$ax^{2}-Sx+P=0$$

Exercice d'application 

1) Trouver 2 nombres de somme 31 et de produit 240.
 
2) Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ 
 $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&9 \\ xy&=&14 \end{array}\right.$$ 

Résolution 

1) Soient $x$ et $y$ ces deux nombres 
 
On a $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&31 \\ xy&=&240 \end{array}\right.$ 
 
$x$ et $y$ sont solutions de l'équation $x^{2}-31x+240=0$
 
$\Delta=(-31)^{2}-4(1)(240)=961-960=1$
 
Donc $x=x_{1}=\dfrac{31-1}{2}=15\quad\text{et}\quad y=x_{2}=\dfrac{31+1}{2}=16$
 
2) Soit à résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&9 \\ xy&=&14 \end{array}\right.$ 
 
On a :
 
$x$ et $y$ solutions de l'équation $t^{2}-9t+14=0$
 
$\Delta=(-9)^{2}-4(1)(14)=81-56=25$
 
Donc $t_{1}=\dfrac{9-5}{2}=2\quad\text{et}\quad t_{2}=\dfrac{9+5}{2}=7$
 
Ainsi, $x=2$ et $y=7$ ou $x=7$ et $y=2$
 
D'où $$S=\{(2\;;\ 7)\;,\ (7\;;\ 2)\}$$
 

II Équations se ramenant à une équation du second degré

II.1 Équations bicarrées

Une équation bicarrée est une équation de la forme $$ax^{4}+bx^{2}+c=0$$ avec $a\neq 0$ Pour la résoudre on fait un changement de variable en posant $X=x^{2}$

Exemple : résoudre dans $\mathbb{R}\ $ $x^{4}-5x^{2}+6=0\quad$ (1)

Posons $X=x^{2}$, donc l'équation (1) devient $X^{2}-5X+6=0\quad$ (2).

Résolvons l'équation (2). On a : 
\begin{eqnarray} \Delta=25-24=1&\Rightarrow&X_{1}=\dfrac{5-1}{2}\quad\text{et}\quad X_{2}=\dfrac{5+1}{2} \nonumber \\ &\Rightarrow&X_{1}=2=x^{2}\quad\text{et}\quad X_{2}=3=x^{2} \nonumber \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{ccr} x_{1}=\sqrt{2}&\text{ ou }&x_{1}=-\sqrt{2} \\ x_{2}=\sqrt{3}&\text{ ou }&x_{2}=-\sqrt{3} \end{array}\right. \nonumber \end{eqnarray}

 
Donc $$S=\left\lbrace-\sqrt{3};\ -\sqrt{2};\ \sqrt{2};\ \sqrt{3}\right\rbrace$$

II.2 Équations symétriques

Les équations symétriques sont les équations de la forme $$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$$. Pour résoudre ces types d'équations, on fait un changement de variable de la forme $X=x+\dfrac{1}{x}$ après une première factorisation par $x^{2}$.

Exemple :

Soit $f(x)=6x^{4}-5x^{3}-13x^{2}-5x+6$

1) Montrer que 0 n'est pas solution de $f(x)=0$

2) Déterminer $g(x)$ telle que $f(x)=x^{2}.g(x)$

3) Montrer que $f(x)=0$ si, et seulement si, $g(x)=0$

4) Résoudre dans $\mathbb{R}\ \ g(x)=0$. On pose $X=x+\dfrac{1}{x}$

Résolution :

1) Montrons que 0 n'est pas solution de $f(x)=0$

On a $f(0)=6\neq 0$ donc 0 n'est pas solution de $f(x)=0$

2) Déterminons $g(x)$ pour que $f(x)=x^{2}.g(x)$

Nous avons

\begin{eqnarray} f(x) & = & 6x^{4}-5x^{3}-13x^{2}-5x+6 \nonumber \\ & = & x^{2}\left(6x^{2}-5x-13-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}\right) \nonumber \\ & = & x^{2}.g(x) \nonumber \end{eqnarray}

 avec $g(x)=6x^{2}-5x-13-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}$

3) Montrons que $f(x)=0$ si, et seulement si, $g(x)=0$

$\centerdot\ \ $ si $g(x)=0$ alors $f(x)=x^{2}.0=0$.

$\centerdot\ \ $ si $f(x)=0$ montons que $g(x)=0$. Soit $f(x)=0$ alors $x^{2}.g(x)=0$. Et donc, $x^{2}=0\ $ ou $\ g(x)=0$

Ce qui revient à dire $x=0\ $ ou $\ g(x)=0\ \ $ or $x\neq 0\ $ car 0 n'est pas solution, donc $g(x)=0$

4) Résolvons dans $\mathbb{R}\ \ g(x)=0$.

On a $g(x)=6x^{2}-5x-13-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}$. Posons $X=x+\dfrac{1}{x}$

Alors, on a $\ x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=X^{2}-2$

Ainsi,

\begin{eqnarray} g(x) & = & 6x^{2}-5x-13-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}} \nonumber \\ & = & 6\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-13 \nonumber \\ & = & 6(X^{2}-2)-5X-13 \nonumber \\ & = & 6X^{2}-5X-25 \nonumber \end{eqnarray}

Soit $\Delta=5^{2}-4(6)(-25)=25+600=625$, et donc $\sqrt{\Delta}=25$

$\Longrightarrow\ X_{1}=\dfrac{5-25}{12}\quad\text{ et }\quad X_{2}=\dfrac{5+25}{12}$

$\Longrightarrow\ X_{1}=-\dfrac{5}{3}\quad\text{ et }\quad X_{2}=\dfrac{5}{2}$

En faisant un retour sur le changement de variable, on obtient :

$\centerdot\ \ -\dfrac{5}{3}=x+\dfrac{1}{x}\ \Longrightarrow\ -\dfrac{5}{3}=\dfrac{x^{2}+1}{x}$

Ce qui donne $-5x=3x^{2}+3\ \Longrightarrow\ 3x^{2}+5x+3=0$

Soit $\Delta=25-36=-11<0$; et donc pas de solutions

$\centerdot\ \ \dfrac{5}{2}=x+\dfrac{1}{x}\ \Longrightarrow\ \dfrac{5}{2}=\dfrac{x^{2}+1}{x}$

Donc $5x=2x^{2}+2\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-5x+2=0$

$\Delta=25-16=9\ \Longrightarrow\ \sqrt{\Delta}=3$

Ainsi, $x_{1}=\dfrac{5-3}{4}\quad\text{ et }\quad x_{2}=\dfrac{5+3}{4}$

$\Longrightarrow\ x_{1}=\dfrac{1}{2}\quad\text{ et }\quad x_{2}=2$

$S=\left\lbrace\dfrac{1}{2};\ 2\right\rbrace$

III Équations paramétriques

Une équation paramétrique est une équation comportant des paramètres.
Par exemple $2x^{2}+(m+3)x-4m+1=0$ et $(\lambda-2)x^{2}+\lambda x+3-\lambda=0$ sont des équations paramétriques avec $m$ et $\lambda$ comme paramètres respectifs.

Exemple :

déterminons suivant les valeurs du paramètre $m$ les solutions de $x^{2}++3x+m-1=0$

On a : $\ \Delta=3^{2}-4(1)(m-1)=9-4m+4$

donc $\Delta=13-4m$

Étudions le signe de $\Delta$

Nous avons $13-4m\geq 0\ \Longleftrightarrow\ m\leq \dfrac{13}{4}$

Et donc,

$\centerdot\ \ $ si $m\in\left]-\infty;\ \dfrac{13}{4}\right[\ \Longrightarrow\ \Delta>0$ on a deux racines distinctes

$x_{1}=\dfrac{3-\sqrt{13-4m}}{2}\quad\text{ et }\quad x_{2}=\dfrac{-3+\sqrt{13-4m}}{2}$

$S=\{x_{1};\ x_{2}\}$

$\centerdot\ \ $ si $m=\dfrac{13}{4}\ \Longrightarrow\ \Delta=0$ l'équation admet une racine double $x_{0}=-\dfrac{3}{2}$; $\ S=\left\lbrace-\dfrac{3}{2}\right\rbrace$

$\centerdot\ \ $ si $m\in\left]\dfrac{13}{4};\ +\infty\right[\ \Longrightarrow\ \Delta<0$ l'équation n'admet pas de racines, et donc $S=\emptyset$

Auteur: 
Seyni Ndiaye

Commentaires

1

J'aime beaucoup

Ajouter un commentaire