Corrigé BFEM Maths 2019 2ième groupe

 

Exercice 1

1) Deux nombres $m$ et $n$ sont dits inverses lorsque leur produit est égal à 1 :
 
$m\times n=1.$ 
 
Dans ce cas, chacun de ces nombres est l'inverse de l'autre. 
 
On a à la fois $m=\dfrac{1}{n}$ et $n=\dfrac{1}{m}.$
 
$1^{er}$ méthode
 
Le numérateur de $x$, $2+\dfrac{3}{4}$, s'écrit, en réduisant au même dénominateur : 
 
$\dfrac{2\times4+3}{4}=\dfrac{8+3}{4}=\dfrac{11}{4}.$
 
Par conséquent, le nombre $x=\dfrac{2+\dfrac{3}{4}}{5}$ est égal à $\dfrac{\dfrac{11}{4}}{5}=\dfrac{11}{4}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{11}{20}$ et par suite, son inverse vaut $\dfrac{20}{11}.$ 
 
$2^{ième}$ méthode
 
L'inverse de $x$ est $\dfrac{5}{2+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{5}{\left(\dfrac{11}{4}\right)}=5\times\dfrac{4}{11}=\dfrac{5\times4}{11}=\dfrac{20}{11}.$
 
Ce nombre est bien de la forme $\dfrac{p}{q}$ avec $p=20$ et $q=11.$
 
2) On multiplie le numérateur et le dénominateur de $a$ par l'expression conjuguée du dénominateur de $a$ qui est $2\sqrt{3}+2.$ 
 
On obtient ainsi
 
$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{(2-\sqrt{3})(2\sqrt{3}+2)}{(2\sqrt{3}-2)(2\sqrt{3}+2)}\\ \\&=&\dfrac{4\sqrt{3}+4-2\times 3-2\sqrt{3}}{(2\sqrt{3})^{2}-4}\\ \\&=&\dfrac{2\sqrt{3}-2}{8}\\ \\&=&\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\end{array}$ 
 
3) Calculons d'abord $(a+1).$ 
 
On a d'après la question précédente :
$$a+1=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}+1=\dfrac{\sqrt{3}-1+4}{4}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}.$$
L'inverse de $(a+1)$ est alors égal à
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{4}{\sqrt{3}+3}&=&\dfrac{4}{3+\sqrt{3}}\\ \\&=&\dfrac{4(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}\\ \\&=&\dfrac{4(3-\sqrt{3})}{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\ \\&=&\dfrac{4(3-\sqrt{3})}{9-3}\\ \\&=&\dfrac{4(3-\sqrt{3})}{6}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}\times(3-\sqrt{3})\end{array}$
 
4) L'inégalité $1.732<\sqrt{3}<1.733$ est équivalente, en ajoutant $-1$ aux $3$ membres, à $$0.732<\sqrt{3}-1<0.733$$ puis en divisant les trois membres par $4$ qui est positif, on obtient :
$$\dfrac{0.732}{4}<\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}<\dfrac{0.733}{4}.$$
 
La machine donne les approximations suivantes : 
 
$\dfrac{0.732}{4}\cong 0.183$ et $\dfrac{0.733}{4}\cong 0.18325$
 
Ainsi on a $0.18<a<0.19$ qui est bien un encadrement de $a$ à $10^{-2}$ près.

Exercice 2

1) Seuls les ensembles $S_{4}$ et $S_{5}$ peuvent éventuellement convenir, car les solutions d'un système sont nécessairement des couples.
 
Si $x=1\ $ et $\ y=2$, la première équation du système est vérifiée car $3\times1-2-1=0$ et la seconde aussi car $1-2\times2+3=0.$
 
Si $x=2\ $ et $\ y=1$, la première équation du système n'est pas vérifiée car $3\times2-1-1=4\neq 0$
 
On en conclut finalement que $S_{4}$ est l'ensemble des solutions du système.
 
2) a) Quand le garçon avait l'âge de sa sœur, il était âgé de $y$ années.
 
C'était donc il y a $x-y$ années (son âge actuel moins son âge d'alors). 
 
Comme les deux enfants grandissent en même temps, l'âge de la sœur était alors $y-(x-y)=2y-x$ années.
 
b) Puisque l'âge actuel du garçon est le double de l'âge de sa sœur à l'époque, on a : 
$$x=2(2y-x)$$
Soit :
 
$\begin{array}{rcrcl} x=4y-2x&\Rightarrow&3x&=&4y\\ \\&\Rightarrow&x&=&\dfrac{4}{3}y\end{array}$
 
3) Compte tenu de l'hypothèse et des résultats précédents, les âges actuels $x\ $ et $\ y$ des deux enfants vérifient le système $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y&=&42\\ \\ x&=&\dfrac{4}{3}y \end{array}\right.$$
On peut résoudre ce système par la méthode de substitution, puisque $x$ est déjà exprimé en fonction de $y.$ 
 
On a alors : 
 
$\dfrac{4}{3}y+y=42$, soit $\dfrac{7}{3}y=42$, d'où $y=3\times\dfrac{42}{7}=3\times 6=18$ et par suite, $x=\dfrac{4}{3}\times 18=4\times 6=24.$
 
On conclut que le garçon a actuellement $24$ ans et la fille $18$ ans.

Vérification : 

Quand le garçon avait l'âge de sa sœur, c'est-à-dire $18$ ans, c'était il y a $(24-18)=6$ ans. 
 
La fille avait alors $18-6=12$ ans et l'âge actuel du garçon, $24$ ans est bien le double de cet âge.

Exercice 3

1) Voir figure ci-dessous
 
 
2) D'après une propriété du Cours, les coordonnées de $I$ sont les demi-sommes des abscisses et des ordonnées des points $A$ et $C$ : $I\begin{pmatrix} \dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}\\ \dfrac{y_{A}+y_{C}}{2} \end{pmatrix}$, soit $I\begin{pmatrix} \dfrac{2+0}{2}\\ \dfrac{1-5}{2} \end{pmatrix}$ ou encore $I\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}.$
 
3) $1^{er}$ méthode 
 
Puisque $I$ est le milieu de $[AC]$, et par conséquent, le centre du cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AC]$, le rayon de ce cercle est égale à la distance $IC$ ou mieux encore à la moitié de la distance $AC.$
 
Or, on a :
 
$\begin{array}{rcl} AC&=&\sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}\\ \\&=&\sqrt{(0-2)^{2}+(-5-1)^{2}}\\ \\&=&\sqrt{4+36}\\ \\&=&\sqrt{40}\\ \\&=&2\sqrt{10}\end{array}$
 
Donc le rayon de ce cercle est égal à $\sqrt{10}.$
 
Pour justifier que $B$ est un point du cercle $(\mathcal{C})$, il suffit de montrer que la distance $IB$ est égal à $\sqrt{10}.$ 
 
Or, d'après les données de l'énoncé et les coordonnées de $I$ calculées précédemment, on a :
 
$\begin{array}{rcl} IB&=&\sqrt{(x_{B}-x_{I})^{2}+(y_{B}-y_{I})^{2}}\\ \\&=&\sqrt{(4-1)^{2}+(-3+2)^{2}}\\ \\&=&\sqrt{9+1}\\ \\&=&\sqrt{10}\end{array}$
 
D'où le résultat.
 
$2^{ième}$ méthode
 
Montrer que les droites $(BC)$ et $(BA)$ sont perpendiculaires, ou, ce qui revient au même, que les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont orthogonaux.
 
Or, $\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_{C}&-x_{C}\\ y_{C}&-y_{B} \end{pmatrix}$, soit $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 0&-4\\ -5&-(-3) \end{pmatrix}$ ou encore $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}$, et $\overrightarrow{BA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_{A}&-x_{B}\\ y_{A}&-y_{B} \end{pmatrix}$, soit $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} 2&-4\\ 1&-(3) \end{pmatrix}$ ou encore $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -2\\ 4 \end{pmatrix}.$
 
La condition d'orthogonalité s'écrit : 
$$x_{\overrightarrow{BC}}\cdot x_{\overrightarrow{BA}}+y_{\overrightarrow{BC}}\cdot y_{\overrightarrow{BA}}=0$$
 
ou encore : $-4\times (-2)+(-2)\times 4=8-8=0$, ce qui est bien vrai.
 
Il suffit alors d'utiliser la propriété classique : 
 
« Tout point $M$ tel que les droites $(MA)$ et $(MB)$ soient perpendiculaires est situé sut le cercle de diamètre $[AB].$
 
4) $(\mathcal{T})$ est, par définition d'une tangente en un point à un cercle, la perpendiculaire en $B$ à la droite $(IB).$ 
 
Un point $P$ de coordonnées $(x\;,\ y)$ est situé sur $(\mathcal{T})$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{BP}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont orthogonaux, (voir figure ci-dessous), ce qui se traduit par la condition :
$$x_{\overrightarrow{BP}}\cdot x_{\overrightarrow{BI}}+y_{\overrightarrow{BP}}\cdot y_{\overrightarrow{BI}}=0$$
 
Or, $\overrightarrow{BP}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x&-x_{B}\\ y&-y_{B} \end{pmatrix}$, soit $\overrightarrow{BP}\begin{pmatrix} x&-4\\ y&-(-3) \end{pmatrix}$ ou encore $\overrightarrow{BP}\begin{pmatrix} x&-4\\ y&+3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BI}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_{I}&-x_{B}\\ y_{I}&-y_{B} \end{pmatrix}$, soit $\overrightarrow{BI}\begin{pmatrix} 1&-4\\ -2&-(-3) \end{pmatrix}$ ou encore $\overrightarrow{BI}\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}.$
 
La condition d'orthogonalité s'écrit donc : 
 
$-3(x-4)+1\times(y+3)=0$, soit après simplification : $-3x+y+15=0.$
 
5) Le point $M$, étant situé sur l'axe des abscisses, a pour ordonnée $0$ et son abscisse $x_{M}$ doit vérifier l'équation précédente, d'où : 
 
$-3x_{M}+0+15=0$, ce qui entraîne que $x_{M}=5.$
 
Il en résulte que le point $M$ a pour coordonnées $(5\;;\ 0).$
 
 
 

Exercice 3 (7 points)

1) Dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, construis les points $A(2\;;\ 1)$, $B(4\;;\ -3)$, et $C(0\;;\ -5).$
 
2) Détermine les coordonnées du milieu $I$ de $[AC].$
 
3) Justifie que le point $B$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AC].$
 
4) Détermine l'équation de la tangente $(\mathcal{T})$ au cercle $(\mathcal{C})$ en $B.$
 
Détermine les coordonnées du point $M$ intersection de la droite $(\mathcal{T})$ avec l'axe des abscisses.

 

Commentaires

EXCELLENT

Salut Mr comment vous allez je voulais la correction des bfem 2018 2019 et 2020 en maths et pc si c'est possible merci pour la compréhension

Je voulais anglais bfem

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