Bac Maths D, Niger 2018

 

1) soit $(E)$ l'équation différentielle ∶ $y'+2y=0$, où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}.$

 

a) Résoudre l'équation $(E).$

 

b) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1.$

 

2) Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0\;,\ 1].$

 

3) Déterminer en fonction de $n$ la valeur moyenne de $f$ sur $[n\;,\ n+1].$

 

4) Soit $U_{n}$ la suite définie par : $$U_{n}=\dfrac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2})\mathrm{e}^{-2n}$$ pour tout entier $n\geq 0$

 

a) Calculer la valeur exacte de $U_{0}$ ; $U_{1}$ et $U_{2}$

 

b) Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

 

c) Déterminer la valeur exacte de la somme :

 

$U_{0}+U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+U_{6}+U_{7}+U_{8}+U_{9}$

Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution de la population d'un village de $1995$ à $2001.$

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année}&1995&1996&1997&1998&1999&2000&2001\\ \hline \text{Rang de l'année }x_{i}&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{Nombre d'habitants }y_{i}&3000&2545&2165&1840&1566&1332&1135\\\hline \end{array}$$

 

Le maire du village se demande quelle sera la population du village en $2005.$

 

1) Dessiner le nuage des points $M_{i}(x_{i}\ ;\ y_{i})$ ainsi que la droite des moindres carrés.

 

2) Quel constat faites-vous par rapport à la question du maire ?

 

3) En fait, on peut penser à un ajustement par une courbe d'équation $y=ab^{x}$ avec $0<b<1\quad\text{et}\quad a>0.$

 

On peut déduire $\ln y=x\ln b+\ln a$, d'où l'idée de prendre $z=\ln y.$

 

a) Compléter le tableau suivant

$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline x_{i}&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline z_{i}=\ln y_{i}&8.01& & & & & &\\\hline \end{array}$$

 

b) Donner une équation de moindres carrés pour la série $(x_{i}\ ;\ z_{i}).$

 

c) Déduisez-en $a$ et $b$ tels $y=ab^{x}$

 

d) Estimez la population du village en $2005.$

1) On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1\;,\ 0[$ par :

$$f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+x}$$

 

a) Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $]-1\;,\ 0[$

 

b) Calculer la dérivé $f'$ de $f$ et étudier son signe. 

 

Déduisez le sens de variation de $f.$

 

c) Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $]-1\;,\ 0[.$

 

d) Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]-1\;,\ 0[$, et déduisez-en le signe de $f(x)$ sur cet intervalle.

 

e) Dessiner la courbe $\mathcal{C_{f}}$ représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unités graphiques : $4\,cm$ en abscisse, $1\,cm$ en ordonnée$).$

 

2) Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :

$$f(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$$

 

Déduisez-en sur l'intervalle $]-1\;,\ 0[$, la primitive $F$, s'annulant pour $x=-\dfrac{1}{2}$ de $f.$

 

3) On considère la fonction $g$ définie sur $]-1\;,\ 0[$ par :

$$g(x)=\ln\left(\dfrac{-x}{x+1}\right)$$

 

a) Étudier les limites de $g$ aux bornes de l'intervalle $]-1\;,\ 0[.$

 

b) Vérifier que, pour tout $x$ de $]-1\;,\ 0[$, on a : $g'(x)=f(x)$

 

Déduisez-en les variations de $g$ sur $]-1\;,\ 0[.$