Bac Maths D, Niger 2012

 

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right).$ 

 

On considère la transformation ponctuelle $F$, qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par : $$z'=m^{3}z+m(m+1)\;,\quad m\in\mathbb{C^{\ast}}$$ 

 

1. Donner la nature de la transformation $F.$ 

 

2. On suppose $m=1+\mathrm{i}.$ 

 

Donner dans ce cas les éléments géométriques de $F.$ 

 

3. Déterminer l'ensemble des nombres complexes $m$ pour lesquels $F$ est une translation. 

 

4. Déterminer l'ensemble des nombres complexes $m$ pour lesquels $F$ est une homothétie de rapport $8.$ 

1. Linéariser l'expression $f(x)=\sin^{3}x\cos x$ 

 

2. Chercher une primitive de $f(x)−\dfrac{1}{4}\sin^{2}x.$ 

A. On considère l'équation différentielle : $$y''+y'−2y=−3\mathrm{e}^{x}\quad (1).$$ 

 

1. Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=ax\mathrm{e}^{x}$ soit solution de l'équation différentielle (1). 

 

2. a) Démontrer qu'une fonction $h$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de (1) si et seulement si la fonction $h−g$ est solution de l'équation différentielle : $$y''+y'−2y=0\quad(2).$$ 

 

b) Résoudre l'équation différentielle $(2).$ 

 

c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (1). 

 

d) Trouver la solution de (1) vérifiant les conditions $h(0)=0$ et $h'(0)=0.$ 

 

B. Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$ $($unité : $1\,cm).$ 

 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1−x)\mathrm{e}^{x}$ et $(\mathfrak{C})$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right).$

 

1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 

 

2. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $(\mathfrak{C})$ au point d'abscisse $x=−1.$ 

 

3. Tracer la courbe $(\mathfrak{C})$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right).$

 

4. a) Soit $\alpha$ un réel supérieur à $1.$ 

 

Calculer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathfrak{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x=1$ et $x=\alpha$ 

 

b) Calculer $\lim\limits_{\alpha\rightarrow +\infty}\mathcal{A}(\alpha).$ 

 

5. a) Montrer que la restriction de $f$ à $]-\infty\;,\ 0]$ est une bijection de

$]-\infty\\;,\ 0]$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

b) Tracer la courbe représentative $(\Gamma)$ de la réciproque de cette bijection sur le même graphique que $(\mathfrak{C}).$ 

 

6. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de points d'intersection de $(\mathfrak{C})$ avec la droite $\left(\Delta_{m}\right)$ d'équation $y=m.$