Bac Maths D, Mali 2017

I. On pose $(Z)=Z^{3}+(2−2\mathrm{i})Z^{2}+(5−4\mathrm{i})Z-10\mathrm{i}=0.$  

1. Calcule $(2\mathrm{i}).$  

2. En déduis une factorisation de $(Z).$  

3. Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $(Z)=0.$  

II. Un lot de vaccin contre la méningite est efficace à $75\%$, c'est-à-dire sur $100$ personnes vaccinées, $75$ seulement sont sures d'être protégées contre la maladie.  

On vaccine $20$ personnes avec ce produit.

Quelle est la probabilité pour que :   

1. Aucune des personnes ne soit protégée ?  

2. La moitié des personnes soit protégée ?  

3. Vingt personnes soit protégée ?

Un biologiste observe la croissance d'une population de bactéries en milieu fermé.

La population initiale est de $100$ bactéries.

La capacité maximale du milieu est de $1000$ bactéries.

On suppose que la population augmente de $6.5\%$ toutes les heures et que le biologiste rajoute $100$ bactéries à la préparation toutes les heures.

On note $R_{n}$ le nombre de bactéries présentes dans la population au bout de $n$ heures.

On admettra que pour tout entier naturel $n$, on a : $R_{n+1}=100+1.065R_{n}.$

On introduit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $$u_{n}=R_{n}+\dfrac{100000}{65}$$
 
1. Montre que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.  
 
2. Exprime $\left(u_{n}\right)$ en fonction de $n$ puis en déduis l'expression de $R_{n}$ en fonction de $n.$   

3. Au bout de combien de temps le nombre de bactéries sera-t-il égal à $90\%$ de la capacité maximale du milieu ?    

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=(x+1)^{2}\mathrm{e}^{-x}.$

On désigne par $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\vec{i}\;,\ \vec{j}).$

unité graphique : $1\,cm.$  

1. Dresser le tableau de variation de $f.$  

2. Montre que $f$ réalise une bijection de $[1\ ;\ +\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.  

3. Trouve l'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse nulle.  

4. Trouve les coordonnées des points d'intersections de la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ avec les axes du repère.  

5. Trace la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et la tangente $(T)$ dans le même repère.  

6. Soit $F$ la fonction définie par : $$F(x)=(ax^{2}+bx+c)\mathrm{e}^{-x}.$$

Où $p$ ; $b$ et $c$ sont des nombres réels.  

a) Détermines les réels $a$ ; $b$ et $c$ pour que $F$ soit une primitive de $f.$  

b) Calcule en $cm^{2}$ l'aire de la partie du plan délimité par la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$, la tangente $(T)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2.$