Bac Maths D, Cameroun 2016

 

Le tableau ci-dessous présente la taille $x$ (en centimètres) et la pointure $y$ $($en $cm)$ de dix élèves choisis au hasard dans une classe de terminale D.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&150&159&158&160&165&168&170&172&175&171\\\hline y&40&41&43&43&42&44&44&44.5&44.5&44\\\hline \end{array}$$

 

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points de cette série statistique.

 

2. a) En prenant la covariance de la série $(x\;,\ y)$ égale à $9.6$ ; pour écart-type $\sigma_{x}$ et $\sigma_{y}$ respectivement égaux à $7.4$ et $1.4.$

 

Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x\;,\ y).$

 

b) Utiliser la méthode des moindres carrés pour donner une équation cartésienne de l'ajustement linéaire de $y$ en $x.$

 

c) En déduire au centimètre près la pointure d'un élève de cette classe dont la taille est de $163\,cm$ dans le cas où le comportement général est proche de l'échantillon choisi.

 

3. a) On choisit au hasard et simultanément six élèves parmi les dix élèves sélectionnés.

 

Calculer la probabilité d'avoir exactement trois élèves dont la pointure est d'au moins $44\,cm.$

 

b) Calculer la probabilité de l'évènement : « la taille est supérieure ou égale à $160\,cm$ sachant que la pointure est inférieure ou égale à $44\,cm$ », lorsqu'on choisit au hasard un élève parmi les dix

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $$4z^{2}-12z+153=0$$

 

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}})$, d'unité graphique $1\,cm$, on considère les points $A$, $B$, $C$, $P$ d'affixes respectives :

 

$z_{A}=\dfrac{3}{2}+6\mathrm{i}$ ; $z_{B}=\dfrac{3}{2}-6\mathrm{i}$ ; $z_{C}=-3-\dfrac{1}{4}\mathrm{i}$ ; $z_{P}=3+2\mathrm{i}$

 

Soit le vecteur $w$ d'affixe $\overrightarrow{w}=-1+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$

 

a) Déterminer l'affixe $z_{Q}$ du point $Q$ image du point $B$ par la translation du vecteur $\overrightarrow{w}.$

 

b) Déterminer l'affixe $z_{R}$ du point $R$ image du point $P$ par l'homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport $-\dfrac{1}{3}$

 

c) Déterminer l'affixe $z_{S}$ du point $S$ image du point $P$ par la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$

 

d) Placer les points $P$, $Q$, $R$ et $S.$

 

3. a) Démontrer que le quadrilatère $PQRS.$

 

b) Calculer $\dfrac{z_{R}-z_{Q}}{z_{P}-z_{Q}}.$

 

En déduire la nature précise du parallélogramme $PQRS.$

 

c) Montrer que les points $P$, $Q$, $R$ et $S$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

On considère la fonction numérique $f$ définie par ∶ $$f(x)=(x-2)\mathrm{e}^{x}+x\;,\ (\mathcal{C_{f}})$$ désigne la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.

 

1. a) Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle :

$$y''-2y'+y=0$$

 

b) Justifier que $f$ est une solution de de l'équation différentielle $y''-2y'+y=x-2$

 

2. Soit $g$ la fonction numérique définie par ∶ $$g(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}+1$$

 

a) Étudier le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$

 

b) En déduire que $g$ est positive sur $\mathbb{R}$

 

3. a) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$

 

b) Montrer que la droite $(\Delta)$ : $y=x$ est une asymptote à $(\mathcal{C_{f}})$ en $-\infty$

 

Étudier la branche infinie à $(\mathcal{C_{f}})$ en $+\infty.$ 

 

Étudier en fonction de $x$ la position de $(\mathcal{C_{f}})$ et de $(\Delta).$

 

4. a) Soit $f'$ la dérivée de $f$, vérifier que pour tout réel $x$ on a ∶ $f'(x)=g(x)$ ; en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}.$

 

b) Justifier que la fonction $f$ établit une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle à préciser.

 

c) Dresser les tableaux de variation de $f$ et de $f^{-1}$ bijection réciproque de $f.$

 

5. a) Donner une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C_{f}})$ au point d'abscisse $0.$

 

b) Construire $(\mathcal{C_{f}})$ et $(\mathcal{C_{f^{-1}}})$ dans un même repère orthonormé $($unité graphique : $cm)$

 

6. $\sigma$ est le domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C_{f}})$, la droite d'équation $y=x$ et les droites respectives $x=0$ ; $x=2.$

 

En utilisant une intégration par parties, calculer l'aire $(\mathcal{A})$ du domaine $\sigma.$