Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2011

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}^\ast$ par : $v_{n}=\dfrac{n^{2}+2n}{(n+1)^{2}}$

1. a) Démontre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente après avoir déterminé sa limite

b) Démontre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante

c) Démontre que : $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ \dfrac{3}{4}\leq v_{n}\leq 1$

2. on pose pour tout entier naturel non nul $n\;,\ a_{n}=v_{1}\times v_{2} \times\ldots\times v_{n}$

a) Démontre par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on a : $a_{n}=\dfrac{n+2}{2(n+1})$

b) En déduire la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$

3. On pose pour tout entier naturel $n$ : $b_{n}=\ln\left(v_{1}\right)+\ln\left(v_{2}\right)+\ldots+\ln\left(v_{n}\right)$

a) Démontre que $\left(b_{n}\right)$ est une suite à termes négatifs.

b) Calculer la limite de la suite $\left(b_{n}\right)$

Une société " Gnamienlait " de Gnamien produit des sachets de lait caillé.

Soit $X$ la variable aléatoire qui associe chaque sachet de lait caillé produit, sa masses en gramme $(g).$

La loi de probabilité de $X$ est définie par le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x(g)&220&230&240&250&260&270&280\\ \hline p_{i}&0.08&0.10&a&b&0.16&0.15&0.04\\ \hline \end{array}$$

$a$ et $b$ sont deux nombres réels

$x_{i}$ représente la masse du sachet de lait caillé ;

$p_{i}$ la probabilité qu'un sachet de lait ait la masse $x.$

1. a) Calcule $E(X)$ l'espérance Mathématique de $X$ en fonction de $a$ et $b$

b) Sachant que $E(X)=250$, justifie que $a=0.14$ et $b=0.33$

Dans la suite de l'exercice, on conservera les valeurs de $a$ et $b$ données ci-dessus.

2. Gnamien prend au hasard un sachet de lait caillé de sa société.

Calculer la probabilité pour que la masse de ce sachet de lait caillé soit au moins $250\,g.$

Tiéplé, la fille de Gnamien, prend au hasard de façon indépendante cinq sachets de lait caillé.

Calculer la probabilité qu'elle ait choisi exactement trois sachets de lait caillé de $220\,g.$

On prendra l'arrondi d'ordre $3$ du résultat.

3. Les sachets de lait caillé sont contrôlés par une machine.

Cette machine est réglée pour éliminer en principe les sachets de lait de masse inférieur à $250\,g.$

$\bullet\ $Si un sachet de lait caillé à $240\,g$, la probabilité qu'il soit éliminé est de $0.7$

$\bullet\ $Si un sachet de lait caillé à $230\,g$, la probabilité qu'il soit éliminé est de $0.8$

$\bullet\ $Si un sachet de lait caillé à $220\,g$, il est systématiquement éliminé

$\bullet\ $Si un sachet de lait caillé à une masse supérieure ou égale à $250g$, il est systematiquement accepté.

a) Justifier que la probabilité qu'un sachet de lait caillé de $240\,g$ soit éliminé est de $0.098$

b) Calculer la probabilité pour qu'un sachet de lait caillé de cette société soit éliminé.

Soit la fonction numérique dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$ et définie par : $g(x)=−\dfrac{2x+1}{x^{2}}+\ln x.$

1. a) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)$

b) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)$

2. a) Démontrer que $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ g'(x)=\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{3}}$

b) En déduire le sens de variation de $g.$

c) Dresse le tableau de variation de $g$

3. a) Démontrer que l'équation $x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha.$

b) Justifier que $2.55<\alpha<2.56$

c) Démontrer que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl}  \forall x\in]0\ ;\ +\alpha[&;&g(x)<0\\ \forall x\in]\alpha\ ;\ +\infty[&;&g(x)>0 \end{array}\right.$$

On considère la fonction dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$, et définie par $f(x)=\left(\dfrac{1}{x}-\ln x\right)\mathrm{e}^{−x}$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;,\ I\;,\ J).$

$($Unité graphique : $OI=2\,cm$ et $OJ=10\,cm)$

1. a) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$, puis donner une interprétation graphique du résultat.

b) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)$, puis donner une interprétation graphique du résultat.

2. Démontrer que $f(a)=−\dfrac{1+a}{a^{2}}\mathrm{e}^{−a}$

3. a) Démontre que $x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ f(x)=\mathrm{e}^{-x}g(x)$

b) En utilisant la partie A, détermine les variations de $f.$

c) Dresser le tableau de variation de $f$

4. Démontre qu'une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $1$ est $y=−\dfrac{3}{\mathrm{e}}x\dfrac{4}{\mathrm{e}}$

5. Construire la droite $(\mathcal{T})$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan muni du repère $(O\;,\ I\;,\ J).$

On prendra $a=2.6$

1. Soit $h$ la fonction dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$, et définie par : $h(x)=\mathrm{e}^{−x}\ln x$

Démontre que $h$ est une primitive de $f$ sur $]0\ ;\ +\infty[$,

2. Soit $\lambda$ un nombre réel tel que $\lambda >3$

a) Calculer, en $cm^{2}$ et en fonction de $\lambda$ l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan comprise entre $(\mathcal{C})$, $(OI)$ et les droites d'équation : $x=3$ et $x=\lambda$

b) Calculer $\lim\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}\mathcal{A}(\lambda)$