Bac Maths D, Burkina 2018

1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe $u=\dfrac{2+2\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}$ sous forme algébrique.

3. Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ d'unité $2\,cm.$

a) Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives

$z_{A}=2\mathrm{i}$ ; $z_{B}=4\mathrm{i}$ ; $z_{C}=−\sqrt{3}+3\mathrm{i}.$

b) Montrer que $u=\dfrac{z_{C}-2\mathrm{i}}{z_{B}-2\mathrm{i}}$

c) En déduire la nature exacte du triangle $ABC.$

4. Soit $f$ l'application de $P\setminus\mathbb{C}$ dans $P$, qui à tout points $M$ d'affixes $z(z\neq z_{C})$ associe la point $M'$ d'affixe $z'=f(z)$ telle que : $$z'=f(z)=\dfrac{z-4\mathrm{i}}{z+\sqrt{3}-3\mathrm{i}}$$

a) Donner une interprétation géométrique du module et de l'argument de $z'.$

b) En déduire et construire l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont l'image par $f$ a pour affixe un nombre imaginaire pur non nul.

c) En déduire et construire l'ensemble $(\mathbb{D})$ des points $M$ dont l'image par $f$ est un élément du cercle de centre $O$ et de rayon $1.$

On note $\sqrt{3}\cong 1.7.$

Un sac contient quatre pièces marquées $500\ F$ et six pièces marquées $200\ F$, indiscernables au touché.

On tire au hasard et simultanément trois pièces de ce sac.

On désigne par $A$, l'évènement « tiré une pièce de $500\ F$ et deux pièces de $200F\ $ »

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces de $500\ F$ figurant  parmi les trois pièces tirées.

1. Calculer la probabilité de l'évènement $A.$

2. a) Déterminer les valeurs prises par $X.$

b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

c) Calculer l'espérance mathématique de $X.$

3. On répète cinq fois l'expérience en remettant à chaque fois les trois pièces tirées dans le sac.

Quelle est la probabilité que l'évènement $A$ se réalise exactement trois fois à l'issue des cinq tirages ?

Le plan $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ unité graphique $2\,cm.$

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}\;,&\text{si}\quad x\leq 0  \\f(x)&=&x^{2}\ln(x)−x^{2}\;,&\text{si}\quad x>0 \end{array}\right\rbrace$$

2. a) Étudier la continuité de $f$ en $0.$

b) Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat.

2. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$, puis interpréter le résultat.

3. Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=\mathrm{e}^{x}+x+1.$$

a) Calculer $g'(x)$ et en déduire le sens de variation de $g.$

b) Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty.$

c) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule $\alpha$ et que $-1.28<\alpha<-1.27.$

4. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$

5. a) Montrer que pour tout $x\in ]-\infty\ ;\ 0 ]\;,\ f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}g(x)}{(\mathrm{e}^{x}+1)^{2}}.$

En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\ ;\ 0].$

b) Calculer $f'(c)$ pour $x\in]0\ ;\ +\infty[.$

En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$

c) Dresser le tableau de variation de $f.$

6. Construire les demi-tangentes à l'origine puis la courbe $(\mathcal{C}).$

On considère la suite $\left(J_{n}\right)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ tel que $n\geq 3$ par : $$J_{n}=\int_{n}^{n+1}f(t)\mathrm{d}t.$

1. Donner une interprétation géométrique de $J_{n}.$

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n\geq 3\;,\ f(n)\leq J_{n}.$

b) Démontre que la suite $\left(J_{n}\right)$ est divergente.

3. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en $cm^{2}$ du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}.$

On considère un point mobile $M$ dont les coordonnées sont données en  fonction du paramètre $t$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&\mathrm{e}^{t} y(t)&=&\mathrm{e}^{2t}(t−1)\quad t\in\mathbb{R} \end{array}\right\rbrace$$

1. Montrer que la trajectoire de $M$ est une partie de $(\mathcal{C})$ que l'on précisera.

Tracer en pointillés la trajectoire de $M.$

On la notera $(\mathcal{C'}).$

2. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse à l'instant $t=\dfrac{\pi}{4}.$

On donne :

$\mathrm{e}^{−1.28}\approx 0.78$ ;

$\mathrm{e}^{-1.27}\approx 0.2808$ ;

$\mathrm{e}^{\dfrac{1}{3}}\approx 1.7$ ;

$\mathrm{e}=2.7$

$f(\alpha)=−0.28$