Bac Maths D, Burkina 2017

1. a) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^{2}.$

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $$z^{2}+2z+19-18\mathrm{i}\sqrt{3} =0.$$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} z_{1}+z_{2}&=&-2\\\\ z_{1}^{2}−z_{2}^{2}&=&−4+\dfrac{4\mathrm{i}\sqrt{3}}{3} \end{array}\right\rbrace$$

3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, on désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $a$, $b$, $c$ et $d$ telle que :

$a=2+3\mathrm{i}\sqrt{3}$ ; $b=\dfrac{1}{9}(\bar{a}−2)$ ; $c=−a−2$ et $d=a−b+c$ $($où $\bar{a}$ est le conjugué de $a).$

a) Déterminer les nombres complexes $b$, $c$ et $d$ puis placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le plan complexe.

$($Unité graphique : $2\,cm$ et $\sqrt{3}\cong 1.7).$

b) Comparer $a+c$ et $b+d.$

En déduire la nature du quadrilatère $ABCD.$

c) Calculer et interpréter géométriquement un argument du nombre complexe  $Z=\dfrac{c−a}{d−b}.$

Préciser la nature exacte de $ABCD.$

Une urne contient $12$ boules numérotées de $1$ à $12.$

Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

On tire simultanément $3$ boules de l'urne.

6. Déterminer le nombre de tirages possibles.

7. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$A$ : « Les nombres portés par ces $3$ boules sont tous des nombres premiers »

$B$ : « Les nombres portés par ces $3$ boules sont tous divisibles par $3$ »

$C$ : « Deux boules portent un numéro divisible par $3$ »

$D$ : « Les trois sont des multiples de »

$E$ : «  Les trois nombres portés ces boules, convenablement rangés forment trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $3$ »

$F$ : « Les trois nombres portés ces boules, convenablement rangés forment trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ ».

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&x\sqrt{3−x}+1&\text{si}\quad x\leq 3\\  f(x)&=&\mathrm{e}^{3−x}+x−3&\text{si}\quad x>3 \end{array}\right\rbrace$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité graphique : $2\,cm).$

1. a) Étudier la continuité de $f$ en $3.$

b) Étudier la dérivabilité de $f$ en $3$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.   

2. a) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$

b) Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

Que peut-on déduire de la courbe $(\mathcal{C})$ ?

3. a) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x–3$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty.$                   
 
Préciser la position de $(\mathcal{C})$ par rapport a $(D)$ dans $]3\;,\ +\infty[$
         
b) Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+1$ sur $[0\ ;\ 2]$   

4. a) Calculer $f'(x)$ pour tout $x\neq 3$ et étudier son signe.

b) En déduire le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variation.

5. a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha.$
 
Vérifier que $-1<\alpha<0.$

b) Construire la courbe $(\mathcal{C})$, les droites $(D)$ et $(\Delta)$ et les demi-tangentes au point d'abscisse $3$ de $(\mathcal{C}).$

1. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en $cm^{2}$, de la partie du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=2.$

(On pourra utiliser une intégration par partie)

2. On considère un point mobile $M$ dont les coordonnées sont données en fonction du paramètre $t$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&3−\mathrm{e}^{2t}\\  y(t)&=&3\mathrm{e}^{t}−\mathrm{e}^{3t}+1 \end{array}\right\rbrace$$

Montrer que la trajectoire de $M$ est une partie de $(\mathcal{C})$ que l'on précisera.