Bac Maths D, Burkina 2013

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

Soient $(1\;,\ 2\;,\ 3)$ ; $(3\;,0\;,\ 3)$ et $(3\;,\ 2\;,\ 1).$
 
1. Calculer $AB$ ; $BC$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.$

2. Soit $D$ le point tel que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.$

Trouver les coordonnées de $D.$

Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?

En déduire que $\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}.$

3. Déterminer la distance séparant le point $O$ au plan du quadrilatère $ABDC$ ;  

4. Soit $I$ le milieu de $[AC].$

Calculer $OI$, en déduire que $I$ est le projeté orthogonale de $O$ sur le plan $(ABDC).$  

5. Démontrer que les plans $(OAC)$ et $(OBD)$ sont orthogonaux.  

6. Déterminer l'aire du quadrilatère $ABDC$.  

7. Déterminer le volume de la pyramide de sommet $O$ et de base, le quadrilatère $ABDC.$

On considère la suite de terme générale $U_{n}$ définie par : $$U_{n}=\dfrac{3U_{n+1}-1}{U_{n−1}+1}\ ;\ n\geq 3$$ et par son premier terme $U_{2}=3.$  

1. Calculer $U_{3}$ ; $U_{4}$ et en déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.  

2. a) Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est minorée par $1$  

b) Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est décroissante

c) En déduire que $\left(U_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.

3. On pose $V_{n}=\dfrac{U_{n+1}}{U_{n−1}}$   

a) Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison $($On pourra exprimer $V_{n}$ et $V_{n−1}$ en fonction de $U_{n−1})$  

b) Exprimer, puis $U_{n}$ en fonction de $n.$  

c) Déterminer la limite de $\left(U_{n}\right).$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&x\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}\;,&\text{si }x<0\\\\  f(x)&=&x\ln(1+x)\;,&\text{si }x\geq 0 \end{array}\right\rbrace$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, unité graphique $2\,cm.$  

1. Soit $g$ la fonction définie par :$$f(x)=\ln(1+x)+\dfrac{x}{x+1}\quad\text{si }x\geq 0.$$

Déterminer le sens de variation de $g$ sur $[0\ ;\ +\infty[$ et en déduire son signe sur $[0\ ;\ +\infty[.$

2. a) Étudier la continuité de $f$ en $0$        

b) Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$  

3. a) Calculer $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ et vérifier que pour tout $x\geq 0$, $f'(x)=g(x)$    

b) Montrer que pour tout $x<0$, on a $f'(x)>0$    

c) Montrer que pour tout $x\geq 0$, on a $f'(x)>0$    

d) Calculer les limites de $f$ en $−\infty$ et en $+\infty$    

e) Dresser le tableau de variation de $f$  

4. a) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puis interpréter graphiquement le résultat  
         
b) Calculer $\lim\limits_{x\to -\infty}\left[x\left(\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}} −1\right)\right].$

$\left(\text{On pourra poser }X=\dfrac{1}{x}\right)$

c) Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation : $y=x+1$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $−\infty$           

d) Préciser la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D})$ pour $x<0.$

$\left(\text{On admettra que }\left(\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}−1\right)\leq 1\text{ pour }x<0\right)$         

4. Tracer la droite $(\Delta)\ :\ y=x$ ; $(\mathcal{D})\ :\ y=x+1$ et $(\mathcal{C})$ dans le repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, unité graphique $2\,cm.$

1. a) Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de $\mathbb{R^{+}}$, on a :$$\dfrac{x^{2}}{x+1}=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$$
 
b) Déduire au moyen d'une intégration par parties le calcul de $$\int_{0}^{\mathrm{e}-1}f(x)\mathrm{d}x.$$  
     
2. Calculer en $cm^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par $(\Delta)\ :\ y=x$ ; $(\mathcal{C})$ et les droites $\mathcal{D}$ d'équations $x=0$ et $x=\mathrm{e}-1.$  

3. Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[0\ ;\ +\infty[$
     
a) Montrer que $h$ réalise une bijection de $[0\ ;\ +\infty[$ sur un intervalle $I$ que l'on précisera.  

b) Construire la courbe $(\mathcal{C'})$ de $h^{-1}$ dans le même repère $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$  

4. Quelle est l'aire $(\mathcal{A'})$ en $cm^{2}$ de la boucle délimitée par $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C'})$ ?  

On considère la courbe $(\Gamma)$ dont une représentation paramétrique est :  
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&\dfrac{1}{\ln(-t)}\quad\text{avec }t\in]-1\ ;\  0[\\\\ y(t)&=&\dfrac{1}{\ln(-t)} \end{array}\right\rbrace$$

1. Déterminer une équation cartésienne de $(\Gamma)$  

2. Comment obtient-on $(\Gamma)$ à partir de la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$  

3. Construire $(\Gamma)$ en pointillées dans le repère $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$