Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2018

 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ ; unité graphique : $2\,cm.$ 

 

On considère l'application $h$ du plan $\mathcal{P}$ privé du point $O$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=h(z)$ telle que $h(z)=\dfrac{2z-2}{2}.$

 

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $a$ et $b$ avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$

 

1) Démontrer que pour tout complexe $z\neq 0$, $h(z)−h(a)=2\left(\dfrac{z-a}{az}\right)$

 

En déduire que pour tout $z$ différent de $0$, de $a$ et de $b$ $\dfrac{h(z)-h(b)}{h(z)-h(a)}=\dfrac{a}{b}\left(\dfrac{z-b}{z-a}\right)$

 

2) Dans toute la suite de l'exercice, on prend $a=1-\mathrm{i}$  et  $b=\bar{a}$ 

 

a) Vérifier que $h(a)=a$  et  $h(b)=b$

 

b) En déduire que pour tout complexe $z$ non nul différent de $a$ et $b$, on a $\dfrac{b(z)-b}{h(z)-a}=-\mathrm{i}\left(\dfrac{z-b}{z-a}\right)$

 

3) On pose $z_{0}=\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=h(z_{n}).$

 

On désigne par $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}.$

 

a) Calculer $\dfrac{AM_{0}}{BM_{0}}$, $z_{1}$ et $z_{2}$

 

b) Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que $\dfrac{AM_{n}}{BM_{n}}=\sqrt{5}$ pour tout naturel $n$

 

4) On pose pour tout point $M$ du plan et $f$ une application du plan $\mathcal{P}$ dans $\mathbb{R}$ : $f(M)=AM^{2}-5BM^{2}$

 

a) Déterminer l'affixe du point $G$ barycentre du système : $\{(A\;,\ 1)\ ;\  (B\;,\ −5)\}$

 

b) Calculer $f(G)$

L'espace $\mathcal{E}$ est muni d'un repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\;,\ \vec{k})$ orthonormal.

 

On donne $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ des points de $\mathcal{E}$ définis respectivement par les triplets de coordonnées suivants : $A(1\ ;\ -1\ ;\ 0)$, $B(2\ ;\ 0\ ;\ 1)$, $C(-1\ ;\ 1\ ;\ 0)$ et $D(-2\ ;\ 0\ ;\ 1).$

 

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On désigne par le barycentre des points $A$ et $B$ affectés respectivement des coefficients $-1-a$  et  $a.$

 

Enfin on appelle $G$ le barycentre des points $P$ et $Q$ affecté respectivement des coefficients $1+b$  et  $1−b$

 

1) a) Calculer, en fonction de $a$ les coordonnées des points $P$ et $Q$

 

b) Montrer que $G$ a pour coordonnées $(a+b\ ;\ a-b\ ;\ ab)$

 

2) a) Le réel $a$ étant supposé fixé $(a\neq 0)$, montrer que l'ensemble des points $G$ obtenus quand $b$ varie est une droite $(\mathcal{D'_{a}})$ dont on donnera les équations paramétrées en fonction de a et un vecteur directeur

 

b) Le réel $b$ étant supposé fixé $(b\neq 0)$, montrer que l'ensemble des points $G$ obtenus quand $a$ varie est une droite $(\mathcal{D'_{b}})$ dont on donnera les équations paramétrées en fonction de $b$ et un vecteur directeur

 

3) a) Montrer que l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $G$ obtenus lorsque $(a\;,\ b)\in\mathbb{R^{2}}$ est partie de l'ensemble $\mathcal{S'}$ des points dont les coordonnées vérifient $x^{2}-y^{2}=4z$

 

b) On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $z=1$

 

Déterminer la nature et l'excentricité de $\mathcal{S}\cap\mathcal{P}$

On considère la fonction $g$ définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par $g(x)=\sqrt{\mathrm{e^{2x}}-1}.$ 

 

1) Calculer $g'(x)$ et étudier le sens de variation de $g.$

 

2) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)$  et  $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{x}.$

 

Quelle conséquence graphique a-t-on ?

 

3) Dresser le tableau de variations de $g$

Partie B