Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2015

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ d'unité $1\,cm.$ 

 

On définit la courbe $(\mathcal{C})$ paramétriquement par :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&t+2\sin t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\\\\ y(t)&=&(1+\cos t)^{2} \end{array}\right.$$

 

1) Comparer la position des points $M(t)$  et  $M(-t).$ 

 

En déduire un axe de symétrie à la courbe

 

2) Soit $M$ un point de paramètre $t$ et $M$, un point de paramètre $t+2\pi.$ 

 

Déterminer le vecteur $\overrightarrow{MM'}.$ 

 

En déduire que est l'image $M'$ est l'image de $M$ par la translation d'un vecteur $\vec{u}$ que l'on précisera.

 

3) On appelle $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ l'arc de la courbe $(\mathcal{C})$ correspondant à $t\in[0\;,\ \pi]$ et $\left(\mathcal{C_{2}}\right)$ la partie de $(\mathcal{C})$ correspondant à $[-\pi\;,\ 3\pi].$ 

 

Montrer que $\left(\mathcal{C_{2}}\right)$ peut se déduire de $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ par une réflexion suivie de la translation de vecteur $\vec{u}.$

 

4) Étudier les variations de $x$ et $y$ sur $[0\;,\ \pi]$ et résumer les résultats dans un tableau de variation commun.

 

5) Tracer l'arc $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ de $(\mathcal{C}).$ 

 

En déduire le tracer de la courbe $\left(\mathcal{C_{2}}\right)$

 

$($On admettra qu'au point de paramètre $\pi$ la tangente a pour vecteur directeur $\vec{i}.)$

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O\;, \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

 

On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $B(-2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(-2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ et $Q$ d'équation cartésienne $x-2y+4z-9=0$

 

1. a) Démontrer que $\mathcal{P}$ et $Q$ sont perpendiculaires

 

b) Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $Q$ est la droite $(\Delta)$ passant par le point $C(-7\ ;\ -8\ ;\ 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2\ ;\ 3;\ 1)$

 

c) Soit le point $A(-5\ ;\ 2\ ;\ 1).$ 

 

Calculer les distances de $A$ à $\mathcal{P}$ et de $A$ à $Q$

 

d) Déterminer la distance de $A$ à $(\Delta)$

 

2. a) Soit, pour tout nombre réel $t$, le point $M_{t}$ de coordonnées $(-1+2t\ ;\ 1+3t\ ;\ 3+t).$

 

Déterminer en fonction de $t$, la longueur $AM_{t}.$ 

 

On note $\varphi(t)$ cette longueur.

 

On définit ainsi une fonction $\varphi$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}.$

 

b) Étudier le sens de variation de $\varphi$ sur $\mathbb{R}$ puis préciser son minimum

 

c) interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.