Bac Maths C et E, Benin 2018

 

A peine sorti de l’école nationale de génie civil, Codjo vient de décrocher un premier contrat de prestation de service : réfectionner la salle de spectacle de l'arrondissement de Valo. Le dossier technique mentionne, entre autres, la décoration de la salle et le renouvellement des sièges. Il y a été utilisé par endroits un langage mathématique auquel Codjo est habitué depuis sa formation : « Chaque siège aura la forme d'un tronc de pyramide. Les sommets de la base de cette pyramide, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}})$, sont des points images des solutions non imaginaire de l'équation $(E)\ :\ (z-3\mathrm{i})5-\overline{z}-3\mathrm{i}=0$, d'inconnue $z$, nombre complexe dont le conjugué est noté $\overline{z}.$ »

 

Cossi, un jeune frère de Codjo élève en classe terminal scientifique, est intéressé par l'étude des diverses configurations que présente le projet, ainsi que les calculs y afférents.

Tu es invité(é) à trouver des réponses aux préoccupations de Cossi en résolvant les trois problèmes ci-dessous.

1. a) Vérifie que $3\mathrm{i}$ est solution de l'équation $(E).$

 

b) Démontre que si $z$ est solution de $(E)$, distinctes de $3\mathrm{i}$ alors $|z-3\mathrm{i}|=1.$

 

c) Résous dans $\mathbb{C}$, l'équation $(E).$

 

2. a) Justifie que les points images des solutions de l'équation $(E),$ distincts du point $A$ d'affixe $3\mathrm{i}$ sont les sommets d'un polygone régulier.

 

b) Déduis-en la nature d'une base du tronc de pyramide représentant le siège.

En vue de la décoration de la salle de spectacles, il doit être matérialisé sur l'un des murs, un domaine $(\mathcal{D})$ déterminé par la courbe $\left(\Gamma_{1}\right)$, représentative de la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\ln(2x+\sqrt{4x^{2}+1}+1)$ et par le symétrique $\left(\Gamma_{2}\right)$ de $\left(\Gamma_{1}\right)$ par rapport à la droite d'équation $y=x.$

 

3. a) Justifie que l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}.$

b) Démontre que l'origine du repère est centre de symétrie de $(\Gamma_{1}).$

c) Calcule la limite de $f$ en $+\infty.$

Déduis-en la limite de $f$ en $-\infty.$

d) Justifie que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}.$

4. a) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

Déduis-en $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

b) Étudie les branches infinies de la courbe $(\Gamma_{1}).$

5. a) Étudie les variations de la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=x−\ln(2x+\sqrt{4x^{2}+1}+1.$

b) Justifie que l'équation $u(x)=0$ admet trois solutions dont l'une est $0$ et les deux autres sont opposées.

On note $\alpha$ la solution strictement positive de l'équation $u(x)=0.$

c) Vérifie que : $2.1<\alpha<2.2.$

d) Étudie la position relative de $(\Gamma_{1})$ par rapport à la droite d'équation $y=x.$

6. Trace les courbes $(\Gamma_{1})$, $(\Gamma_{2})$ et la droite d'équation $y=x$ dans un même repère.

7. a) Justifie que $f$ est bijective.

b) Démontre que $(\Gamma_{2})$ est la courbe de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\dfrac{1}{4}(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}).$

8. Le domaine $(\mathcal{D})$ est délimité par les courbes $(\Gamma_{1})$, $(\Gamma_{2})$ et les droites d'équations $x=-\alpha$ et $x=\alpha.$

a) Justifie que l'aire de $(\mathcal{D})$ vaut $4$ fois celle du domaine $(\mathcal{D_{1}})$ délimité par $(\Gamma_{2})$ et les droites d'équations $y=x$, $x=0$ et $x=\alpha.$

b) Calcule l'aire de $(\mathcal{D_{1}})$ en fonction de $\alpha.$

c) Déduis-en une valeur approchée de l'aire du domaine $(\mathcal{D}).$

La décoration de la salle sera réalisé par les matériaux locaux de deux types $m_{1}$ et $m_{2}.$

Un matériau de type $m_{1}$ coûte $100$ francs, un matériau de type $m_{2}$ coûte $120$ francs et le prix d'achat de ces matériaux s'élève à $11.040$ francs. Par ailleurs le nombre de matériaux de type $m_{1}$ divise le nombre de matériaux de type $m_{2}.$ Trois barres lumineuses forment un triangle équilatéral $BCD$ de côté $1.$

Les matériaux serviront à concrétiser deux ensembles $(\Gamma_{3})$ et $(\Gamma_{4})$ de points de l'espace orienté $(E).$

$(\Gamma_{3})$ est l'ensemble des points $M$ de $(\mathcal{E})$ tels que :

$MB^{2}+MC^{2}+2MD^{2}=2$ et $(\Gamma_{4})$ est l'image de $(\Gamma_{3})$ par l'application $g$ de $(\mathcal{E})$ dans $(\mathcal{E})$ qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que :
$$(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD})\wedge\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{M'C}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}.$$

9. Détermine le nombre de matériaux de chaque type.

10. Justifie que :

a) Pour tout point $M$ de $(\mathcal{E})$ on a :
$$(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD})\wedge\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{BC}\wedge\overrightarrow{CD}$$

b) Pour tout point $M$ et $M'$ de $(\mathcal{E})$ on a :
$$g(M)=M'\leftrightarrow\overrightarrow{MM'}=2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{BC}\wedge\overrightarrow{CD}$$

c) $g$ admet un seul point invariant $l.$

11. Démontre que $g$ est une homothétie dont tu préciseras les caractéristiques.

12. a) Démontre que $(\Gamma_{4})$ est une sphère.

b) Justifie que l'aire totale des surfaces de $(\Gamma_{3})$ et $(\Gamma_{4})$ vaut $10$ fois celle de $(\Gamma_{3}).$