Bac Maths C et E, Benin 2012

 

Ali a hérité d'un domaine sur lequel il veut construire un centre de loisirs. Son fils Bio, titulaire d'un baccalauréat scientifique s'intéresse au volet esthétique du centre. Pour cela, il construis la famille de courbes $\left(\mathcal{C_{m}}\right)$ d'équation : $(m−2)x^{2}+y^{2}−2y−5+m=0$ dans le plan complexe, muni du repère orthonormé direct $(0\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}})$, $m$ étant un paramètre réel. Il utilise l'image $(\Gamma)$ d'une courbe par une transformation du plan.

Tu es invité(e) à répondre au préoccupations de Bio en résolvant les trois problèmes suivant :

1. Soit $M(x\ ;\ y)$ un point du plan $(\mathcal{P}).$

 

Justifie que : $M(x\ ;\ y)\in\left(\mathcal{C_{m}}\right)\Leftrightarrow\left(m−2)x^{2}+(y-1)^{2}=(6−m)\right).$

 

2. a) Étudie le signe de $\dfrac{6-m}{m-2}$ suivant les valeurs de $m$, où $m$ différent de $2.$

 

b) Précise la nature de $\left(\mathcal{C_{1}}\right).$

 

c) Étudie suivant les valeurs de $m$, la nature de $\left(\mathcal{C_{m}}\right).$

Bio choisit la courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{2}+\ln(x)$, la transformation $\varphi$ telle que : $\varphi=t\ oy$ où $t$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}-\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}$ et $y$ est la réflexion d'axe $(\Delta)$ d'équation $y=x.$ Il s'agit de rechercher un point $I$ de $(\Gamma)$, un point $J$ de $\left(\mathcal{C_{4}}\right)$ tels que : $\varphi(I)=J$ et de matérialiser ces points à l'aide d'indication à présenter aux ouvriers sur le chantier de construction du centre de loisirs.

 

3. Étudie :

 

a) les variations de $f.$

 

b) les variations de la fonction $v$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par :

$$v(x)=x^{2}−x+\ln(x).$$

 

c) le signe de $v(x)$ pour tout nombre réel strictement positif $x.$

 

d) la position relative de $(\Gamma)$ par rapport à la droite $(\Delta).$

 

4. a) Démontre que l'équation $f(x)=0$ admet dans $\mathbb{R^{\ast}_{+}}$ une solution unique $a.$

 

b) Justifie que $\dfrac{1}{2}<a<1.$

 

5. a) Détermine l'écriture complexe de $\varphi.$

 

b) Précise la nature et les éléments caractéristiques de $\varphi.$

 

c) Représente $(\Gamma')$ l'image de $(\Gamma)$ par $\varphi.$

 

6. $(\Gamma')$ coupe $\left(\mathcal{C_{4}}\right)$ en deux points $J_{1}$ et $J_{2}.$ 

 

Donne une méthode de construction d'un point $I$ de $(\Gamma)$ tel que : $\varphi(I)=J$ où $J$ est un élément de $\left\lbrace J_{1}\ ;\ J_{2}\right\rbrace.$

Compte tenu de la superficie, Bio veut qu'on installe un nombre $a$ de chaises et un nombre $b$ de tables pour les grandes économies.

 

D'après ses calculs, il se rend compte que :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3a+7b&=&1020\\ PGCD(a\ ;\ b)&=&20 \end{array}\right.$$

 

7. Détermine le nombre de chaises et le nombre de tables à installer.